Question

В теругольнике ABC угол B=90*, угол C= 60*, BC=2 см. На стороне AC отложена точка D так, что угол ABD=30* a) Найдите длину отрезка AD. б) Докажите , что периметр треугольника ABC меньше 10 см.

Answer 1

AC=2BC,т.к Катет, лежащий против угла 30 градусов, равен половине гипотенузы(подробнее http://www.treugolniki.ru/katet-lezhashhij-protiv-ugla-30/) AD=1/2AC=BC=2
Воспользуемся основными тригонометрическими тождествами и найдём периметр. P(ABC)=AB+BC+AC. AB=BC*tg60=√3*2=2√3 Это меньше 4, следовательно 2+4+2√3<10

Answer 2

Дано: - В треугольнике ABC угол B = 90°, угол C = 60°, и BC = 2 см. - На стороне AC отложена точка D так, что угол ABD = 30°.

Для начала определим угол A. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, угол A равен:

\[ \angle A = 180° - \angle B - \angle C = 180° - 90° - 60° = 30° \]

Теперь у нас есть следующие углы в треугольнике ABC: - \(\angle A = 30°\) - \(\angle B = 90°\) - \(\angle C = 60°\)

Таким образом, треугольник ABC является прямоугольным и равнобедренным (так как два угла при основании равны).

a) Найдем длину отрезка AD. Треугольник ABD также является равнобедренным, так как \(\angle ABD = \angle A = 30°\). Следовательно, углы ADB и ABD равны между собой.

Теперь мы можем воспользоваться тем, что сумма углов треугольника равна 180°, чтобы найти угол ADB:

\[ \angle ADB = 180° - \angle A - \angle ABD = 180° - 30° - 30° = 120° \]

Так как угол ADB равен 120°, то отрезок AD делит угол между сторонами AB и BC пополам. Таким образом, угол BAD равен 60°.

Теперь у нас есть прямоугольный треугольник ABD, где угол BAD = 60°, угол ABD = 30° и сторона BC = 2 см. Мы можем воспользоваться функциями тригонометрии, чтобы найти длину отрезка AD.

\[ \tan(\angle BAD) = \frac{AD}{BD} \]

\[ \tan(60°) = \frac{AD}{BD} \]

\[ \sqrt{3} = \frac{AD}{BD} \]

\[ AD = BD \cdot \sqrt{3} \]

Теперь нам нужно найти длину BD. В прямоугольном треугольнике ABD, где угол B равен 90°, мы можем воспользоваться теоремой Пифагора:

\[ BD^2 + AD^2 = AB^2 \]

\[ BD^2 + (BD \cdot \sqrt{3})^2 = BC^2 \]

\[ BD^2 + 3 \cdot BD^2 = 2^2 \]

\[ 4 \cdot BD^2 = 4 \]

\[ BD^2 = 1 \]

\[ BD = 1 \]

Теперь, подставив значение BD в формулу для AD, получаем:

\[ AD = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3} \]

Таким образом, длина отрезка AD равна \(\sqrt{3}\) см.

b) Теперь докажем, что периметр треугольника ABC меньше 10 см. Периметр треугольника равен сумме длин его сторон.

\[ Perimeter(ABC) = AB + BC + CA \]

Мы уже знаем, что BC = 2 см. Теперь нам нужно найти длины AB и CA.

Из прямоугольного треугольника ABD мы знаем, что:

\[ AB = BD \cdot \sec(\angle BAD) \]

\[ AB = 1 \cdot \sec(60°) \]

\[ AB = 2 \]

Таким образом, AB = 2 см.

Теперь давайте найдем CA. Из равнобедренности треугольника ABC мы знаем, что CA = CB. Таким образом, CA = 2 см.

Теперь можем вычислить периметр:

\[ Perimeter(ABC) = AB + BC + CA = 2 + 2 + 2 = 6 \]

Таким образом, периметр треугольника ABC меньше 10 см.