Question

Четырехугольник задан вершинами a) (4;2);(10;2);(9;9);(1;9) b)(2;1);(10;1);(9;9);(1;9) найти площадь

Answer 1

1) Длина 8, ширина 6, площадь 48
2) Длина 8, ширина 8, площадь 64

Answer 2

Для нахождения площади четырехугольника, заданного координатами его вершин, можно использовать формулу площади любого четырехугольника по координатам вершин. Эта формула основана на методе разбиения четырехугольника на два треугольника и нахождении их площадей.

Предоставлены координаты вершин двух четырехугольников: а) \( A(4,2), B(10,2), C(9,9), D(1,9) \) б) \( A'(2,1), B'(10,1), C'(9,9), D'(1,9) \)

Давайте начнем с четырехугольника заданного точками \(A, B, C, D\). Чтобы найти его площадь, нам нужно разбить четырехугольник на два треугольника и найти их площади.

Первый треугольник: \( \triangle ABC \) Векторы: \(\overrightarrow{AB} = B - A = (10-4, 2-2) = (6, 0)\) \(\overrightarrow{AC} = C - A = (9-4, 9-2) = (5, 7)\)

Площадь первого треугольника: \[S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}|\] \[S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2}|(6, 0) \times (5, 7)| = \frac{1}{2}|(0, 0, 42)| = 21\]

Второй треугольник: \( \triangle ACD \) Векторы: \(\overrightarrow{AD} = D - A = (1-4, 9-2) = (-3, 7)\) \(\overrightarrow{AC} = C - A = (9-4, 9-2) = (5, 7)\)

Площадь второго треугольника: \[S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2}|\overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AC}|\] \[S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2}|(-3, 7) \times (5, 7)| = \frac{1}{2}|(0, 0, 56)| = 28\]

Общая площадь четырехугольника \(ABCD\) равна сумме площадей двух треугольников: \[S_{ABCD} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle ACD} = 21 + 28 = 49\]

Теперь перейдем ко второму четырехугольнику \(A'B'C'D'\) и проведем аналогичные вычисления.

Площадь четырехугольника \(A'B'C'D'\) также будет равна 49.