Question

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. Отрезок ОК перпендикулярный к площади ромба. Доведите ,что площади ромба BKD и ABC перпендикулярные

Answer 1

Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. 
 ОК ⊥ пл. АВС  ⇒  ОК⊥ВД , так как  ВД ∈ пл. АВС
пл. ВКД содержит ОК (то есть  ОК ∈ ВКД )
пл. ВКД проходит через прямую ОК, перпендикулярную пл. АВС  ⇒
пл. ВКД ⊥ пл. АВС 

Answer 2

Для доказательства того, что площади ромба BKD и ABC перпендикулярные, мы можем воспользоваться следующими свойствами ромба:

1) Диагонали ромба перпендикулярны между собой. 2) Любая диагональ ромба делит его на два равных прямоугольных треугольника.

Из условия задачи, мы знаем, что отрезок ОК является перпендикуляром к площади ромба. Пусть точка L - середина отрезка ОК.

Теперь рассмотрим треугольники OBL и OCK. Они являются прямоугольными треугольниками, так как ОК перпендикулярен к площади ромба, а диагонали ромба перпендикулярны между собой.

Также мы знаем, что треугольники OBL и OCK являются равными, так как ОЛ - это медиана треугольника ОКВ, а медиана делит треугольник на два равных по площади треугольника.

Из равенства треугольников OBL и OCK следует, что у них равны соответствующие стороны и углы. В частности, у них равны углы ОBL и ОCK.

Теперь рассмотрим треугольники OBL и OAK. Они являются равнобедренными треугольниками, так как у них равны стороны ОB и ОA (они являются сторонами ромба), а углы ОBL и ОAK равны.

Из равнобедренности треугольников OBL и OAK следует, что у них равны соответствующие углы. В частности, у них равны углы ОLB и ОKA.

Теперь рассмотрим треугольники OLB и OKA. Они являются прямоугольными треугольниками, так как у них равны углы ОLB и ОKA (они являются прямыми углами), а стороны ОL и ОK перпендикулярны.

Из прямоугольности треугольников OLB и OKA следует, что их площади перпендикулярны.

Таким образом, мы доказали, что площади ромба BKD и ABC перпендикулярные.