Question

Высоты bb1 и cc1 остроугольного треугольника пересекаются в точке EДокажите,что углы CC1B1 И CBB1 равны

Answer 1

Поскольку треугольники СС1B и  BB1C оба  прямые с  прямыми углами B1,С1 и опираются  на одну и туже сторону AB,то  они вписаны в  одну и туже окружность.А  тогда  эта окружность описана около  4 угольника  С1B1BС (то  есть около него можно описать окружность) Тогда  углы  СС1B1 и CBB1 тоже  вписаны  в эту окружность и опираются на одну дугу  B1C тогда эти углы  равны.

Answer 2

Для доказательства равенства углов CC1B1 и CBB1 воспользуемся свойствами остроугольного треугольника.

Пусть точка E является точкой пересечения высот bb1 и cc1 остроугольного треугольника ABC.

Так как высоты треугольника пересекаются в одной точке, то они делятся этой точкой на две равные части. То есть, AE = EC1 и AE = EB1.

Рассмотрим треугольники AEC1 и AEB1. У них две стороны равны (AE = EC1 и AE = EB1), а значит, эти треугольники равны по стороне-стороне-стороне.

Из равенства треугольников AEC1 и AEB1 следует, что их углы при вершине A равны. То есть, углы C1AE и B1AE равны.

Так как угол C1AE является прямым углом (высота cc1 является высотой треугольника), то угол C1AE равен 90 градусам.

Из равенства углов C1AE и B1AE следует, что угол B1AE равен 90 градусам.

Таким образом, угол CBB1 равен 90 градусам.

Аналогично, можно доказать, что угол CC1B1 также равен 90 градусам.

Таким образом, углы CC1B1 и CBB1 равны.