Question

В прямоугольном треугольнике высота и медиана, проведенные в гипотенузы, соответственно равны 24 см и 25 см. Найдите периметр треугольника.

Answer 1

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузе.
Тогда гипотенуза равна 25*2см = 50 см.
Высота в прямоугольном треугольнике является средним геометрическим для проекций катетов на гипотенузу. Пусть один отрезок, на который разбивает высота гипотенузу, равен х см. Тогда другой отрезок равен (50 - х) см. Получим уравнение:
$\sqrt{x(50-x)} = 24$
x(50 - x) = 576
50x - x² - 576 = 0
x² - 50x + 576 = 0
$\left \{ {{ x_{1} } + x_{2} = 50} \atop {x_{1}* x_{2} = 576 }} \right.$
$\left \{ {{ x_{1} = 18} \atop { x_{2}= 32 }} \right.$
Значит, высота делит гипотенузу на отрезки, равные 32 и 18 см соответственно.
Найдем по теореме Пифагора катет в прямоугольном треугольнике, в котором этот катет является гипотенузой:$\sqrt{24^{2} + 18^{2} } = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30$см
Найдем по теореме Пифагора последний катет большого прямоугольного треугольника:
$\sqrt{50^{2} - 30^{2} } = \sqrt{2500 - 900} = \sqrt{1600} = 40$см
Теперь найдем периметр треугольника:
P = 30 см + 40 см + 50 см = 120 см
Ответ: 120 см.

Answer 2

Давайте обозначим прямоугольный треугольник как ABC, где AB и BC - катеты, AC - гипотенуза. Пусть h - высота, проведенная к гипотенузе AC, и m - медиана, проведенная к гипотенузе AC.

Известно, что h = 24 см и m = 25 см.

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться свойствами прямоугольных треугольников и их медиан.

1. Высота прямоугольного треугольника делит его на два подобных треугольника. Таким образом, можно записать следующее уравнение:

\[ \frac{h}{m} = \frac{AB}{BC} \]

2. Также, с использованием теоремы Пифагора, мы имеем:

\[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \]

3. Из подобия треугольников (высота делит треугольник на два подобных), мы также можем записать:

\[ \frac{h}{BC} = \frac{m}{AB} \]

Теперь у нас есть система из трех уравнений с тремя неизвестными: \( AB, BC \) и \( AC \). Мы можем использовать эти уравнения для решения задачи.

Вот как это можно сделать:

1. Используем отношение высоты к медиане: \[ \frac{h}{m} = \frac{AB}{BC} \] \[ \frac{24}{25} = \frac{AB}{BC} \]

2. Используем теорему Пифагора: \[ AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} \] \[ AC = \sqrt{(25)^2 + (24)^2} \] \[ AC = \sqrt{625 + 576} \] \[ AC = \sqrt{1201} \]

3. Используем отношение высоты к катету: \[ \frac{h}{BC} = \frac{m}{AB} \] \[ \frac{24}{BC} = \frac{25}{AB} \]

Теперь у нас есть три уравнения, и мы можем решить систему для \( AB, BC \) и \( AC \).

После нахождения значений \( AB, BC \) и \( AC \), периметр треугольника вычисляется как сумма длин всех его сторон: \[ P = AB + BC + AC \]

Надеюсь, это поможет в решении задачи!