Question

Треугольник АВС; гипотенуза =15, радиус вписанной окр=3 НАЙТИ: АК и КВ (отрезки гипотенузы)

Answer 1

Треугольник АВС, уголС=90, АВ=15 - гипотенуза, К - точка касания на АВ, точка Н касание на АС, точка М - касание на ВС, О -центр, проводим радиусы перпендикулярные точкам касания, четырехугольник НОМС - квадрат, все углы прямые, ОН=ОМ =радиусу, СН=СМ как касательные из одной точки, следовательно ОН=ОМ=СМ=СН=3,

ВМ= а =ВК как касательные из одной точки, АК = 15 -а =АН

АС = АН+СН=15-а+3=18-а, ВС = СМ+ВМ=а+3

АВ в квадрате = АС в квадрате + ВС в квадрате

225 = 324 - 36а + а в квадрате + а в квадрате +6а +9

2а в квадрате -30а + 108=0

а = (30+-корень(900-864))/4

а =9 = ВМ, ВС=9+3=12, АН=15-9=6, АС=6+3=9

ВК=9

АК=6

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора и свойствами радиуса вписанной окружности треугольника.

Так как треугольник АВС прямоугольный, то по теореме Пифагора можно записать: АС² = АВ² + ВС²

Из условия известно, что гипотенуза АС равна 15: 15² = АВ² + ВС² 225 = АВ² + ВС²

Также известно, что радиус вписанной окружности равен 3. По свойству радиуса вписанной окружности, он является биссектрисой угла треугольника.

Пусть точка К - точка касания вписанной окружности со стороной АВ, а точки М и Н - точки касания радиуса с сторонами ВС и АС соответственно.

Так как радиус вписанной окружности является биссектрисой угла, то он делит сторону АВ на два отрезка, пропорциональных соответствующим сторонам треугольника. Обозначим эти отрезки как АК и КВ.

Таким образом, АК = а, КВ = b, АВ = а + b.

Из свойства биссектрисы угла треугольника можно записать пропорцию: ВС/СМ = АВ/АМ

Так как ВС = 15 и СМ = 3 (радиус вписанной окружности), а АВ = а + b и АМ = а, то получаем: 15/3 = (а + b)/а

5 = (а + b)/а

Умножим обе части уравнения на а: 5а = а + b

Выразим b через а: b = 5а - а = 4а

Теперь можем подставить это значение в уравнение АВ² + ВС² = 225: (а + 4а)² + 15² = 225 5а² + 225 = 225 5а² = 0

Получаем, что а = 0. Но такое значение не имеет смысла, так как длина стороны треугольника не может быть равна нулю.

Следовательно, данная задача не имеет решения.