Question

Парабола проходит через точки пересечения прямой y-x=0 с окружностью x^2+y^2+2x=0 и симметрична относительно оси Ox. Найти каноническое уравнение этой параболы

Answer 1

Найдём точки пересечения прямой y-x=0 с окружностью x²+y²+2x=0.
Из уравнения  y-x=0 находим у = х и подставляем в уравнение окружности x²+y²+2x=0.
 x²+х²+2x=0,
2х²+2х = 0,
2х(х + 1) = 0.
Получаем 2 точки: х₁ = 0 и х₂ = -1, а так как по заданию у = х, то
                             у₁ = 0 а у₂ = -1.
То есть одна точка О - начало координат, а вторая точка А(-1;-1).
А так как парабола симметрична относительно оси Ox и проходит через точку А(-1;-1) с отрицательной абсциссой, а ее осью служит ось Ox, то уравнение параболы следует искать в виде у² = -2px.
Подставляя в это уравнение координаты точки A, будем иметь:
(-1)² = -2р*(-1),   1 = 2р,   р = 1/2.
 Ветви параболы направлены в отрицательном направлении оси Ох .
Имеем у² = -2(1/2)x, или у² = -х.                    

Answer 2

Определение формы параболы

Парабола - это геометрическая фигура, которая может быть задана в канонической форме уравнением вида y = ax^2 + bx + c, где a, b и c - константы. Она имеет форму симметричной кривой, которая открывается вверх, если a > 0, или вниз, если a < 0.

Дано

У нас есть прямая y - x = 0, окружность x^2 + y^2 + 2x = 0 и парабола, которая проходит через точки пересечения этих двух фигур и симметрична относительно оси Ox.

Нахождение точек пересечения прямой и окружности

Для начала, найдем точки пересечения прямой и окружности. Для этого решим систему уравнений, состоящую из уравнения прямой и уравнения окружности.

Уравнение прямой: y - x = 0 Уравнение окружности: x^2 + y^2 + 2x = 0

Подставим уравнение прямой в уравнение окружности: x^2 + (x)^2 + 2x = 0 2x^2 + 2x = 0 2x(x + 1) = 0

Таким образом, получаем два возможных значения x: x = 0 и x = -1.

Нахождение координат точек пересечения

Подставим найденные значения x обратно в уравнение прямой, чтобы найти соответствующие значения y.

Для x = 0: y - 0 = 0 y = 0

Таким образом, первая точка пересечения имеет координаты (0, 0).

Для x = -1: y - (-1) = 0 y + 1 = 0 y = -1

Таким образом, вторая точка пересечения имеет координаты (-1, -1).

Определение параболы

Теперь, когда у нас есть точки пересечения, мы можем определить параболу, которая проходит через эти точки и симметрична относительно оси Ox.

Каноническое уравнение параболы

Каноническое уравнение параболы имеет вид y = ax^2 + bx + c.

Нахождение коэффициентов параболы

Для определения коэффициентов параболы, мы можем использовать точку пересечения (0, 0) и (x, y).

Подставим первую точку (0, 0) в каноническое уравнение параболы: 0 = a(0)^2 + b(0) + c 0 = c

Таким образом, коэффициент c равен 0.

Подставим вторую точку (-1, -1) в каноническое уравнение параболы: -1 = a(-1)^2 + b(-1) + c -1 = a + b

Окончательное каноническое уравнение параболы

Мы получили, что c = 0 и a + b = -1. Теперь мы можем записать окончательное каноническое уравнение параболы:

y = ax^2 + bx

Подставим значение c = 0 в уравнение: y = ax^2 + bx + 0 y = ax^2 + bx

Таким образом, каноническое уравнение параболы, проходящей через точки пересечения прямой y - x = 0 и окружности x^2 + y^2 + 2x = 0 и симметричной относительно оси Ox, будет иметь вид y = ax^2 + bx.

Однако, чтобы найти конкретные значения коэффициентов a и b, нам нужно больше информации о параболе.