Question

Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен 2 см.сумма катетов 17 см.найдите периметр и площадь тругольника

Answer 1

R=a+b-c/2
2=(17-c)/2
4=17-c
c=13
P=17+13=30
S=rp
S=2*(30/2)=30

Answer 2

Пусть катеты треугольника равны a и b, а гипотенуза равна c. Так как треугольник прямоугольный, то справедлива теорема Пифагора: c^2 = a^2 + b^2.

Также известно, что радиус вписанной окружности равен 2 см. Радиус вписанной окружности можно выразить через площадь треугольника и его полупериметр (s и p соответственно) по формуле: r = s/p.

Так как радиус вписанной окружности равен 2 см, то s/p = 2. Площадь треугольника можно выразить через его катеты по формуле: S = (a*b)/2.

Из условия задачи известно, что a + b = 17. Таким образом, мы получили систему уравнений:

c^2 = a^2 + b^2, r = s/p, S = (a*b)/2, a + b = 17.

Рассмотрим каждое уравнение по отдельности:

1. c^2 = a^2 + b^2. Так как треугольник прямоугольный, то справедлива теорема Пифагора. Подставим a + b = 17 вместо a в уравнение: c^2 = (17 - b)^2 + b^2. Раскроем скобки и упростим уравнение: c^2 = 289 - 34b + 2b^2.

2. r = s/p. Подставим S = (a*b)/2 и a + b = 17 в формулу: 2 = (a*b)/(2*(a + b)). Упростим уравнение: 4 = ab/(a + b).

3. S = (a*b)/2. Подставим a + b = 17 в формулу: S = (17 - b)*b/2. Упростим уравнение: 2S = 17b - b^2.

4. a + b = 17.

Теперь решим систему уравнений:

Из уравнения 2 получаем: 4 = ab/(17). Умножим обе части уравнения на 17: 68 = ab.

Теперь подставим полученное значение ab в уравнение 3: 2S = 17b - b^2. Подставим S = (a*b)/2: 2(a*b)/2 = 17b - b^2. Упростим уравнение: ab = 17b - b^2.

Теперь подставим полученное значение ab в уравнение 1: c^2 = 289 - 34b + 2b^2. Подставим ab = 68: c^2 = 289 - 34b + 2b^2. Упростим уравнение: c^2 = 289 - 34b + 2b^2.

Теперь у нас есть два уравнения: 1. ab = 68, 2. c^2 = 289 - 34b + 2b^2.

Решим уравнение 1 относительно a: a = 68/b. Подставим это значение в уравнение 2: c^2 = 289 - 34b + 2(68/b)^2. Упростим уравнение: c^2 = 289 - 34b + 2(4624/b^2).

Теперь у нас есть уравнение: c^2 = 289 - 34b + 9248/b^2.

Далее необходимо решить это уравнение относительно b и найти значения a и c. После этого можно найти периметр и площадь треугольника, используя формулы:

Периметр треугольника: P = a + b + c, Площадь треугольника: S = (a*b)/2.

Однако, решение этого уравнения вручную может быть сложным. Если вам необходимо найти периметр и площадь треугольника с точными значениями, рекомендуется использовать численные методы или программы для решения уравнений.