Question

Длины сторон треугольника относятся как 7:4:7.Соединив середины его сторон,получили треугольник с площадью 54 корней из 5.Тогда периметр исходного треугольника равен..

Answer 1

Стороны получившегося треугольника - средние линии исходного, и потому он подобен исходному. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия. Коэффициент подобия k=2
Отношение площадей равно 4
Площадь исходного треугольника
 S=4*54√5=216√5
Пусть коэффициент отношения сторон треугольника будет х
Тогда стороны будут 7х, 4х, 7х
Треугольник - равнобедренный с основанием 4х
Опустим из вершины высоту, по т.Пифагора выразим ее через х h²=49х²-4х²=45х²
h=3√5 x
Площадь исходного треугольника 
S=ah:2
S=(4x*3√5 x):2=6x²√56x²√5=216√5
6x²=216
x²=36
x=6
Р=2*7 х+4х=18х
Р=18*6=108

Answer 2

Пусть длины сторон треугольника равны 7x, 4x и 7x, где x - некоторое число.

Соединив середины его сторон, получим медианы треугольника, которые делят его на 6 малых треугольников равной площади.

Площадь каждого из этих малых треугольников равна 54 корня из 5 / 6 = 9 корней из 5.

Формула площади треугольника через длины его сторон: S = √[p(p - a)(p - b)(p - c)], где p - полупериметр треугольника, a, b, c - его стороны.

Полупериметр треугольника равен (7x + 4x + 7x) / 2 = 9x.

Подставим все значения в формулу площади:

9 корней из 5 = √[9x(9x - 7x)(9x - 4x)(9x - 7x)] = √[9x(2x)(5x)(2x)] = √[180x^4] = √(180) * √(x^4) = 6√(5) * x^2.

Отсюда получаем, что 6√(5) * x^2 = 9 корней из 5.

Делим обе части равенства на 6√(5):

x^2 = 9 / 6 = 3 / 2.

Извлекаем квадратный корень из обеих частей:

x = √(3 / 2) = √(3) / √(2) = √(6) / 2.

Теперь можем найти длины сторон исходного треугольника:

Сторона a = 7x = 7 * (√(6) / 2) = 7√(6) / 2.

Сторона b = 4x = 4 * (√(6) / 2) = 4√(6) / 2 = 2√(6).

Сторона c = 7x = 7 * (√(6) / 2) = 7√(6) / 2.

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

P = a + b + c = (7√(6) / 2) + 2√(6) + (7√(6) / 2) = (14√(6) / 2) + 2√(6) = (7√(6) + 2√(6)) / 2 = 9√(6) / 2 = (9 / 2)√(6).

Таким образом, периметр исходного треугольника равен (9 / 2)√(6).