Question

1.На отрезке АС как на основании построены по разные стороны от него два равнобедренных треугольника АВС и АDC. Докажите, что BD и АС перпендикулярны.Найдите АВ если известно что периметр четырехугольника АВСD равен 20см,а сторона ВС на 2 см больше стороны АD.2.Отрезок прямой АВ точками Р и Q делится на три равные части,причем А-Р-Q. По одну сторону от прямой АВ взяты точки С и D так,что АС=ВD и СQ=DP,<DPB+<CQA=140 градусов.Найдите величину угла DPB

Answer 1

1. АС и ВD пересекаются в точке Е. 
Т.к. ΔАВС иΔАDC равнобедренные, a ВЕ и ЕD проведены из вершины к основанию АС, то они являются медианами, высотами и биссектрисами.  Значит АС перпендикулярно ВD.   
Т.к. АВ=ВС=AD+2 и АD=DC, то периметр АВСД  равен
Р=2АВ+2АD=2(АD+2+AD)=4AD+4
4AD+4=20
AD=4 см
АВ=4+2=6 см

2. Рассмотрим ΔАQC и ΔВРD: в них по условию АС=BD, CQ=PD и АQ=PB (AB разделен на 3 равные части).  Следовательно эти треугольники равны по третьему признаку (по 3 сторонам), тогда и углы у них равны.
<CQA=<DPB=140/2=70 

Answer 2

1. Для доказательства перпендикулярности отрезков BD и AC можно воспользоваться свойством равнобедренных треугольников. Из условия задачи известно, что треугольники ABC и ADC равнобедренные, значит, у них основания AB и AD равны.

Пусть AB = AD = x. Тогда, по условию, периметр четырехугольника ABCD равен 20 см, а сторона ВС на 2 см больше стороны AD. Значит, BC = x + 2.

Так как треугольник ABC равнобедренный, то мы можем рассмотреть высоту BH, опущенную из вершины B на сторону AC. Так как треугольник ABC равнобедренный, то высота BH является и медианой, и биссектрисой.

Теперь рассмотрим треугольник AHB. Он является прямоугольным, так как высота BH является и медианой, и биссектрисой. Так как треугольник AHB прямоугольный, то BD, являющаяся медианой, является и высотой, и биссектрисой. Следовательно, BD и AC перпендикулярны.

2. Из условия задачи известно, что AC = BD и CQ = DP. Также дано, что угол DPB = CQA = 140 градусов.

Рассмотрим треугольник DPB. Известно, что угол DPB = 140 градусов. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, то угол PDB = 180 - 140 = 40 градусов.

Теперь рассмотрим треугольник CQA. Известно, что угол CQA = 140 градусов. Так как сумма углов треугольника равна 180 градусов, то угол CQA = 180 - 140 = 40 градусов.

Таким образом, угол DPB = угол CQA = 40 градусов.