Question

1) Через вершины А и С параллелограмма АВСD проведем парал.прям. А1А и С1С, не леж. в плоскости пар-ма. Док-ть, что пл. А1АВ параллельна пл. С1СD.

Answer 1

Рассматриваем две плоскости  А1АВ и С1СД с пересекающимися в них параллельными прямыми АА1 IICC1, ABIICД. Допускаем, что плоскости не параллельны и пересекаются по  некоторой прямой. Эта прямая принадлежит плоскости С1СД. Прямые . АА1 и АВ параллельны плоскости С1СД, как параллельные СС1 и СД. Отсюда АА1 и АВ не пересекают прямую плоскости С1СД. Мы имеем две параллельные прямые в плоскости А1АВ, проходящие через точку А и параллельные прямой пересечения плоскостей А1АВ и С1СД. Но это невозможно по аксиоме параллельных. Отсюда наши плоскости параллельны  .  

Answer 2

Чтобы доказать, что плоскость А1АВ параллельна плоскости С1СD, нужно показать, что эти две плоскости не пересекаются и не сходятся в одной прямой.

Пусть точка М лежит на плоскости А1АВ, а точка N лежит на плоскости С1СD. Нам нужно доказать, что прямая MN параллельна плоскостям А1АВ и С1СD.

Из условия задачи следует, что прямая А1А параллельна прямой С1С. Это означает, что угол между А1А и С1С равен 180 градусам или 0 градусам. Также, поскольку А1А и С1С не лежат в одной плоскости, их пересечение будет прямой.

Предположим, что прямая MN не параллельна плоскостям А1АВ и С1СD. Тогда она пересекает эти плоскости или сходится с ними в одной прямой.

Пусть прямая MN пересекает плоскость А1АВ в точке P. Тогда прямая MP лежит в плоскости А1АВ. Но мы знаем, что прямая А1А параллельна плоскости С1СD, поэтому прямая MP не может пересекать плоскость С1СD. Это противоречит нашему предположению, что прямая MN пересекает плоскость С1СD.

Аналогично, если прямая MN сходится с плоскостью А1АВ в одной прямой, то она не может пересечь плоскость С1СD. Это опять противоречит нашему предположению.

Таким образом, мы доказали, что прямая MN не пересекает и не сходится с плоскостями А1АВ и С1СD. Значит, плоскость А1АВ параллельна плоскости С1СD.