Question

Найдите косинус угла между векторами p=a+b и q=a-b (вектора) если a= 5, b= 8, угол между векторами a и b= 60°.

Answer 1

Построим сумму векторов а и b и их разность.
↑АС = ↑р = ↑а + ↑b
↑DB = ↑q = ↑a - ↑b
Чтобы найти угол между векторами p и q, построим вектор, равный вектору q, с началом в точке А.
∠ЕАС - искомый.
Из ΔABD найдем длину вектора q по теореме косинусов:
|↑q|² = AB² + AD² - 2·AB·AD·cos60° = 25 + 64 - 2·5·8·1/2 = 89 - 40 = 49
|↑q| = 7
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180°, значит ∠АВС = 120°.
Из ΔABС найдем длину вектора р по теореме косинусов:
|↑p|² = AB² + BC² - 2·AB·BC·cos120° = 25 + 64 + 2·5·8·1/2 = 89 + 40 = 129
|↑p| = √129

Из ΔЕАС по теореме косинусов:
cos α = (AE² + AC² - EC²) / (2 · AE · AC)
cos α = (49 + 129 - 256) / (2 · 7 · √129) = - 78 / (14√129) = - 39√129 / 903
cos α = - 13√129/301

Answer 2

Для нахождения косинуса угла между векторами p и q, мы можем воспользоваться формулой для косинуса угла между двумя векторами:

Косинус угла между векторами a и b:

Для начала, найдем вектора a и b:

Вектор a = 5 Вектор b = 8 Угол между векторами a и b = 60°

Теперь, найдем вектор p = a + b и вектор q = a - b:

Вектор p = a + b = 5 + 8 = 13 Вектор q = a - b = 5 - 8 = -3

Нахождение косинуса угла между векторами p и q:

Теперь, мы можем использовать формулу для косинуса угла между векторами:

Косинус угла между векторами p и q: \[ \cos(\theta) = \frac{p \cdot q}{\lVert p \rVert \lVert q \rVert} \]

Где: - p · q - скалярное произведение векторов p и q - ||p|| и ||q|| - длины векторов p и q соответственно

Нахождение скалярного произведения векторов p и q:

\[ p \cdot q = 13 \times (-3) = -39 \]

Нахождение длин векторов p и q:

Длина вектора p: \[ ||p|| = \sqrt{13^2} = 13 \]

Длина вектора q: \[ ||q|| = \sqrt{(-3)^2} = 3 \]

Подстановка значений в формулу косинуса:

Теперь, мы можем подставить полученные значения в формулу для косинуса угла между векторами:

\[ \cos(\theta) = \frac{-39}{13 \times 3} = \frac{-39}{39} = -1 \]

Таким образом, косинус угла между векторами p и q равен -1.