Question

Докажите, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и притом одну.

Answer 1

 Из любой точки, не лежащей на данной прямой, можно опустить на эту прямую перпендикуляр, и притом только одну.
 Доказательство :   предположим, что на плоскости, которой принадлежат и прямая, и точка, таких перпендикуляров существует два. Поскольку точка вне прямой принадлежит обоим перпендикулярам, получаем треугольник с вершиной в этой точке и основанием, расположенном на прямой. Так как оба перпендикуляра составляют с прямой углы по 90° (углы при основании треугольника) плюс угол при вершине, то сумма внутренних углов такого треугольника получается больше 180°, - а это на плоскости осуществить невозможно. Следовательно, наше предположение о том, что через одну точку к данной прямой на плоскости можно провести больше одного перпендикуляра, - не верно и такой перпендикуляр существует только один. Теорема доказана. 

Answer 2

Чтобы доказать, что через любую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, воспользуемся следующим рассуждением.

Пусть дана прямая l и точка A, лежащая на этой прямой. Чтобы провести перпендикулярную пря