Question

Дан треугольник со сторонами 13,14,15. Окружность с центром на большей стороне касется двух меньших сторон треугольника .Найдите: а)радиус окружности б) длины отрезков,на которые центр окружности делит большую сторону треугольника.

Answer 1

Я про такой треугольник много уже написал тут. Ну, можно еще.

Но сначала решение "для учителя".

Центр окружности лежит на стороне 15 и равноудален от других сторон, то есть он совпадает с концом биссектрисы угла напротив стороны 15. Поэтому он делит сторону 15 в отношении 13/14. Длины этих отрезков 15*13/(13+14) = 65/9 и 15*14/(13 + 14) = 70/9;

Площади треугольников, на которые делит треугольник биссектриса, равны 13*R/2 и 14*R/2, поскольку радиус окружности R играет в каждом из них роль высоты к известной стороне. Сумма их равна S = 27*R/2; 

Площадь треугольника S считается по формуле Герона.

Полупериметр p = (13 + 14 + 15)/2  = 21;

p - 13 = 8; p - 14 = 7; p - 15 = 6; 

S^2 = 21*8*7*6 = (7*3*4)^2; S = 7*3*4 = 84;

Получилось

27*R/2 = 84; R = 56/9;

 

Теперь вот что. Часто можно найти площадь треугольника, если заметить, что его длины сторон выражены целыми числами, присутствующими в Пифагоровых тройках. Или - что несколько сложнее - пропорциональны им. В данном случае присутствие чисел 13 (из тройки 5,12,13) и 15 (из "египетской" тройки 9, 12, 15, кратной 3,4,5) наводит на мысль, что треугольник составлен из двух Пифагоровых. Это действительно так - достаточно приставить друг к другу такие треугольники одинаковыми катетами 12, так, чтобы катеты 5 и 9 вместе образовали бы сторону 14.

Это означает, что в треугольнике со сторонами 13,14,15 высота к стороне 14 равна 12, и она делит сторону 14 на отрезки 5 и 9. (Стоит ли упоминать, что в силу признака равенства треугольников по трем сторонам, ДРУГИХ таких треугольников не бывает :))

Это простое наблюдение не требует сложных вычислений (записать это намного труднее, чем сообразить). В результате площадь треугольника считается устно, и равна

S = 12*14/2 = 84; 

В данном случае площадь легко считается и по формуле Герона, но это не всегда так, и - кроме того - применение сложных формул увеличивает вероятность ошибки. А метод "Пифагоровых троек" позволяет сосчитать площадь моментально, устно и безошибочно. 

Стоит только помнить, что после получения ответа таким способом надо еще уметь получить его "стандартными" методами. Если поискать среди моих задач - там есть более подробное изложение различных способов, которые надо прменять в таких случаях. Формула Герона вообще должна применяться только тогда, когда нет другого выхода.

Answer 2

Задача

Дан треугольник со сторонами 13, 14 и 15. Окружность с центром на большей стороне касается двух меньших сторон треугольника. Найдите: а) радиус окружности б) длины отрезков, на которые центр окружности делит большую сторону треугольника.

Решение

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства треугольников, окружностей и касательных.

# a) Радиус окружности

Первым шагом найдем радиус окружности. Известно, что окружность касается двух меньших сторон треугольника, а также большую сторону треугольника.

По свойству касательной, линия, проведенная от центра окружности до точки касания, будет перпендикулярна касательной. Таким образом, центр окружности, точка касания и вершина треугольника, образующая большую сторону, образуют прямоугольный треугольник.

Используя теорему Пифагора для этого прямоугольного треугольника, мы можем выразить радиус окружности:

Радиус окружности (r) = половина большей стороны треугольника (a) - половина меньшей стороны треугольника (b)

В нашем случае, большая сторона треугольника равна 15, а меньшие стороны равны 13 и 14:

Радиус окружности (r) = (15 / 2) - (13 / 2) = 1

Таким образом, радиус окружности равен 1.

# б) Длины отрезков

Теперь найдем длины отрезков, на которые центр окружности делит большую сторону треугольника.

Поскольку окружность касается большей стороны треугольника, это означает, что отрезок между центром окружности и точкой касания будет перпендикулярный к большей стороне. Это делит большую сторону на две части.

Используя свойство перпендикуляра, мы можем сказать, что длина каждого отрезка будет равна радиусу окружности (r) - в нашем случае, это 1.

Таким образом, длина каждого отрезка, на которые центр окружности делит большую сторону треугольника, равна 1.

Ответ:

а) Радиус окружности: 1 б) Длины отрезков, на которые центр окружности делит большую сторону треугольника: 1