Question

В основании цилиндра высотой 24 и радиусом основания 8 вписан тупоугольный треугольник АВС, в котором ВС=12, АВ=АС. а) Постройте сечение призмы АВСА1В1С1 плоскостью, перпендикулярной плоскостям ВВ1С1С А1ВС и проходящей через точку А, если АА1, ВВ1 И СС1-образующие цилиндра. б) Найдите величину угла плоскостью В1ВС и А1ВС. Пожалуйста, объясните как сделать

Answer 1

К двум плоскостям, имеющим общую линию их пересечения ВС, перпендикулярная плоскость проходит по перпендикуляру к их линии пересечения. Основание пересекается по диаметру АОД (то есть через ось цилиндра, в который вписана призма).
а) Рассмотрим основание:
расстояние стороны ВС от диаметра равно к = √(8²-(12/2)²) = √64-36) =√28 = 2√7.
расстояние от точки А до стороны ВС равно 8-2√7.
В сечении будет прямоугольник с основанием 8-2√7 и высотой 24 (по высоте цилиндра и призмы.
б) Угол между заданными плоскостями α = arc tg ( 8-2√7)/24 = 
arc tg 0.112854 =  0.112379 радиан = 6.438818 градусов

Answer 2

а) Чтобы построить сечение призмы АВСА1В1С1 плоскостью, перпендикулярной плоскостям ВВ1С1С и А1ВС и проходящей через точку А, нужно провести плоскость, параллельную плоскости основания АВС и пересекающую грани АВС и А1В1С1. Эта плоскость будет пересекать ребра АА1, ВВ1 и СС1.

b) Чтобы найти величину угла плоскостью В1ВС и А1ВС, нужно воспользоваться свойством тупоугольного треугольника АВС, в котором ВС=12, АВ=АС и АА1, ВВ1 и СС1 - образующие цилиндра. Из этого свойства следует, что угол между плоскостями В1ВС и А1ВС будет равен углу между ребрами ВВ1 и СС1.

Для решения этой задачи можно воспользоваться теоремой косинусов. Пусть угол между ВВ1 и СС1 равен α. Тогда по теореме косинусов в треугольнике ВВ1СС1:

ВВ1² = ВС² + В1С1² - 2 * ВС * В1С1 * cos(α)

Так как ВС=12 и В1С1=24 (высота цилиндра), подставляем эти значения:

ВВ1² = 12² + 24² - 2 * 12 * 24 * cos(α)

Теперь находим значение угла α, используя обратную функцию косинуса:

α = arccos((12² + 24² - ВВ1²) / (2 * 12 * 24))

Таким образом, величина угла плоскостью В1ВС и А1ВС равна α, найденному по формуле выше.