Question

Дан квадрат ABCD, вершины A и D которого лежат на некоторой окружности, а две другие - на касательной к этой окружности. Через центр окружности проведена прямая, параллельная AD. В каком отношении (считая от вершины A) эта прямая делит сторону AB.Ответ должен быть 3:5

Answer 1

Обозначим точку пересечения этой прямой и стороны квадрата АВ как Т
АТ+ТВ = АВ
ТВ = R ---радиус окружности
выразим АТ через радиус...
из равнобедренного треугольника АОD, где AD = AB = AT+R
высота этого треугольника, проведенная к основанию, = АТ
из получившегося прямоугольного треугольника по т.Пифагора
(AD/2)^2 + AT^2 = R^2
AD^2 + 4AT^2 = 4R^2
(AT+R)^2 + 4AT^2 = 4R^2
AT^2 + 2AT*R + R^2 + 4AT^2 - 4R^2 = 0
5AT^2 + 2AT*R - 3R^2 = 0
D = (2R)^2 - 4*5*(-3R^2) = 4R^2 + 60R^2 = (8R)^2
AT = (-2R + 8R)/10
---отрицательный корень не рассматриваем (не имеет смысла...)
AT = 6R/10 = 3R/5
искомое отношение: AT/TB = (3R/5) / R = 3/5

Answer 2

Дано: Квадрат ABCD, вершины A и D лежат на некоторой окружности, а две другие вершины на касательной к этой окружности. Через центр окружности проведена прямая, параллельная AD.

Найти: В каком отношении (считая от вершины A) эта прямая делит сторону AB.

Решение:

Для начала, построим схему данной задачи:

      B
     / \
    /   \
   /     \
A ------- D
   \     /
    \   /
     \ /
      C

Так как AD параллельна прямой, проведенной через центр окружности, то угол BAD будет прямым углом. Заметим, что угол BDA также будет прямым углом, так как AD является диаметром окружности. Следовательно, треугольник ABD является прямоугольным.

Так как квадрат ABCD, то сторона AB равна стороне AD.

Пусть точка E - точка пересечения прямой, проведенной через центр окружности, и стороны AB.

Так как треугольник ABD прямоугольный, то прямая, проведенная через центр окружности, будет являться высотой этого треугольника. Следовательно, точка E является основанием высоты.

Так как треугольник ABD прямоугольный, то прямая, проведенная через центр окружности, будет также являться медианой этого треугольника. Следовательно, точка E будет делить сторону AB пополам.

То есть, отношение, в котором прямая, проведенная через центр окружности, делит сторону AB, будет 1:1.

Ответ: Прямая, проведенная через центр окружности, делит сторону AB в отношении 1:1.