Question

Трапеция ABCD (AD и BC основания ) вписана в окружность,радиус которой равен 4 см, AC-биссектриса угла А,<ВСА=30. Найдите площадь трапеции. Помогите пожалуйста!!!

Answer 1

Если угол BAC=30,то угол CAD тоже 30(как накрест лежащие).Сторона AD=8 (так как диагональ).Треугольник АВС равнобедренный (так как угол ВАС=САВ=ВСА=30),угол В=120.Треугольник АСD прямоугольный(угол С=В=120, а АСD=90),AD гипотенуза CD лежит напротив угла в 30 градусов ,следовательно CD=4.трапеция равнобедренная(так как угол А=D=60),следовательно ВС=ВА=CD=4.Проводим высоту BH,образуется треугольник ABH.BH=jкорень из 10(теорема пифагора).S=0,5*корень из 10*(4+8)=6 
корень из 10

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойством вписанной трапеции, согласно которому сумма длин оснований равна произведению длин диагоналей, деленному на их разность:

AB + CD = (AC + BD) * (AC - BD)

Также воспользуемся теоремой синусов для треугольника АСВ:

AC / sin(30) = AB / sin(

Так как AC - биссектриса угла А, то угол

AC / sin(30) = AB / sin(30)

AC = AB

Теперь можем записать уравнение для площади трапеции:

S = (AB + CD) * h / 2

где h - высота трапеции.

Заметим, что высота трапеции равна радиусу окружности, так как она проведена из вершины трапеции перпендикулярно основаниям.

Теперь можем записать уравнение для площади трапеции:

S = (AB + CD) * 4 / 2

S = 2 * (AB + CD)

Из свойства вписанной трапеции знаем, что AB + CD = AC + BD. Из вышеуказанных равенств также следует, что AC = AB.

Тогда S = 2 * (AB + CD) = 2 * (AC + BD) = 2 * (AC + AC) = 4 * AC

Таким образом, площадь трапеции равна 4 * AC.

Осталось только найти длину AC. Для этого воспользуемся теоремой синусов для треугольника АСВ:

AC / sin(30) = AB / sin(30)

AC = AB

Из условия задачи известно, что радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 4 см. Рассмотрим треугольник АСО, где О - центр окружности. Тогда АО = 4 см.

AC = 2 * АО = 2 * 4 см = 8 см

Итак, площадь трапеции равна 4 * AC = 4 * 8 см² = 32 см².