Question

Осевое сечение конуса-равносторонний треугольник. Площадь полной поверхности конуса равна 18см^2. Найти объём конуса.

Answer 1

Второй вариант был правильный - см во вложении

Answer 2

Ответ: Объём конуса можно найти по формуле $$V = \frac{1}{3}S_bh$$, где $S_b$ - площадь основания, а $h$ - высота конуса. Если осевое сечение конуса - равносторонний треугольник, то основание конуса - правильный треугольник. Площадь правильного треугольника можно найти по формуле $$S_b = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$$, где $a$ - сторона треугольника. Площадь боковой поверхности конуса можно найти по формуле $$S_l = \frac{1}{2}pl$$, где $p$ - периметр основания, а $l$ - образующая конуса. Тогда площадь полной поверхности конуса равна $$S = S_b + S_l = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 + \frac{1}{2}pl$$

Из условия задачи, $S = 18$ см$^2$. Также известно, что $a = l$, так как осевое сечение - равносторонний треугольник. Тогда можно выразить $p$ через $a$: $p = 3a$. Подставив эти значения в формулу для $S$, получим:

$$18 = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2 + \frac{1}{2} \cdot 3a \cdot a$$

Упростив и приведя к квадратному уравнению, получим:

$$a^2 - 12\sqrt{3}a + 48 = 0$$

Решая это уравнение, найдем два корня: $a_1 \approx 14.64$ см и $a_2 \approx 3.36$ см. Отбросим первый корень, так как он не подходит по смыслу задачи (площадь основания будет больше площади полной поверхности). Тогда $a = a_2 \approx 3.36$ см.

Теперь можно найти высоту конуса по теореме Пифагора: $$h^2 = l^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2$$

Подставив $a \approx 3.36$ см и $l = a$, получим: $$h \approx 2.91$ см.

Наконец, можно найти объём конуса по формуле: $$V = \frac{1}{3}S_bh$$

Подставив $S_b = \frac{\sqrt{3}}{4}a^2$ и $h \approx 2.91$ см, получим: $$V \approx 8.67$ см$^3$.

Ответ: объём конуса примерно равен 8.67 см$^3$.