Question

Диагонали ромба ABCD пересекаются в точке О. Вычислите градусные меры острых углов треугольника BOC, если AD=4 см, а площадь ромба равна 8√2

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Для решения задачи нам нужно знать, что диагонали ромба являются перпендикулярными биссектрисами его углов.

Пусть углы ромба ABCD равны α. Поскольку диагонали перпендикулярны, то угол BOC равен 90° - α.

Также известно, что площадь ромба равна половине произведения его диагоналей. Поэтому площадь ромба ABCD равна 8√2:

(AC * BD) / 2 = 8√2.

Диагонали ромба равны, поэтому AC = BD. Подставляем это значение в уравнение:

(AC * AC) / 2 = 8√2.

AC^2 = 16√2.

AC = 4√2.

Теперь мы можем найти длину отрезка OB. Поскольку диагонали ромба являются перпендикулярными биссектрисами его углов, то OB является биссектрисой угла BOC. Поэтому OB = OC.

Используем теорему Пифагора для нахождения длины OB:

OB^2 = AC^2 - AO^2.

OB^2 = (4√2)^2 - (4/2)^2.

OB^2 = 32 - 4.

OB^2 = 28.

OB = 2√7.

Теперь у нас есть все необходимые данные для нахождения градусных мер острых углов треугольника BOC. Для этого мы можем использовать тригонометрические соотношения.

Так как OB = OC = 2√7, мы можем использовать соотношение тангенса:

tan(BOC) = OB / BC.

BC - это половина диагонали ромба, то есть BC = AC/2 = (4√2)/2 = 2√2.

Подставляем значения:

tan(BOC) = (2√7) / (2√2).

Упрощаем:

tan(BOC) = √7 / √2.

Умножаем числитель и знаменатель на √2:

tan(BOC) = (√7 * √2) / (√2 * √2).

Упрощаем:

tan(BOC) = √14 / 2.

Теперь находим градусную меру угла BOC, используя обратную функцию тангенса:

BOC = arctan(√14 / 2).

Подставляем значение в калькулятор и получаем:

BOC ≈ 35.26°.

Таким образом, градусная мера острого угла BOC треугольника равна примерно 35.26°.