Question

Дана правильная четырёхугольная пирамида с длиной стороны a и градусной мерой угла наклона бокового ребра к плоскости основания 60°. Цилиндр помещён в данную пирамиду так, что его образующая лежит на диагонали основания, а окружности оснований цилиндра вписаны в сечения пирамиды плоскостями, содержащими эти основания. Также известно, что высота цилиндра равна h. Найдите объём цилиндра.

Answer 1

Прикрепляю.......................................

Answer 2

Для решения данной задачи, нам необходимо найти объем цилиндра, который помещен в данную пирамиду.

Шаг 1: Найдем высоту пирамиды

Для начала, нам необходимо найти высоту пирамиды. Для этого воспользуемся теоремой Пифагора. У нас есть правильная четырехугольная пирамида, и угол наклона бокового ребра к плоскости основания составляет 60 градусов.

Изобразим пирамиду:

        A
       / \
      /   \
     /     \
    /_______\
   B    C    D

Пусть сторона основания пирамиды равна a, а высота пирамиды равна h. Тогда, рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где AB - сторона основания, BC - боковое ребро пирамиды, и AC - высота пирамиды.

Используя тригонометрию и угол наклона ребра к плоскости основания, мы можем записать:

sin(60°) = BC / a

Так как sin(60°) = √3 / 2, получаем:

√3 / 2 = BC / a

Отсюда, находим выражение для BC:

BC = (√3 / 2) * a

Теперь, рассмотрим прямоугольный треугольник BCD, где BD - диагональ основания (диагональ пирамиды), и CD - высота пирамиды.

Мы знаем, что AD = a, и угол BAC = 60°. Тогда, можем записать:

sin(60°) = CD / AD

Так как sin(60°) = √3 / 2, а AD = a, получаем:

√3 / 2 = CD / a

Отсюда, находим выражение для CD:

CD = (√3 / 2) * a

Теперь, мы можем применить теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику BCD:

BD^2 = BC^2 + CD^2

Подставляя значения BC и CD, получаем:

BD^2 = [(√3 / 2) * a]^2 + [(√3 / 2) * a]^2

BD^2 = (3 / 4) * a^2 + (3 / 4) * a^2

BD^2 = (3 / 2) * a^2

BD = √(3 / 2) * a

Таким образом, мы нашли высоту пирамиды:

h = BD = √(3 / 2) * a

Шаг 2: Найдем радиус основания цилиндра

Для этого, воспользуемся сечениями пирамиды плоскостями, содержащими основания цилиндра. Мы знаем, что окружности оснований цилиндра вписаны в сечения пирамиды. Поэтому, радиусы этих окружностей совпадают с радиусом основания цилиндра.

Так как у нас правильная четырехугольная пирамида, то основание пирамиды - это квадрат. Радиус окружности вписанной в квадрат равен половине длины стороны квадрата.

Таким образом, радиус основания цилиндра равен:

r = a / 2

Шаг 3: Найдем объем цилиндра

Объем цилиндра можно найти по формуле:

V = π * r^2 * h

Подставляя значения r и h, получаем:

V = π * (a / 2)^2 * √(3 / 2) * a

V = π * (a^2 / 4) * √(3 / 2) * a

V = (π / 4) * √(3 / 2) * a^3

Таким образом, объем цилиндра равен (π / 4) * √(3 / 2) * a^3.