Question

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 точки E и G-середины отрезков A1B1 и DC1 соответственно, точка F лежит на отрезке BE, причём 3BF=BE, AB=AD, AA1= }*AB. Найдите угол между прямой FG и плоскостью AA1C1.

Answer 1

Пусть А - начало координат
Ось X -AB
Ось Y - AD
Ось Z - AA1

Уравнение плоскости АА1С1
x-y=0

Координаты точек
Е(0.5;0;√(8/3))
G(0.5;1;√(2/3))
B(1;0;0)

Вектор ВЕ(-0.5;0;√(8/3))
ВF(-1/6;0;√(8/27))
Координаты точки
F(5/6;0;2/3*√(2/3))
Вектор FG(-1/3;1;√(2/27)) длина √(32/27)

Синус искомого угла
(4/3 )√27/√32/√2=√3/2
Угол 60 градусов.

Answer 2

Для начала определим координаты точек A, B, C, D, A1, B1, C1, D1, E, F и G.

Поскольку точки E и G являются серединами отрезков A1B1 и DC1 соответственно, то координаты точек E и G можно найти как среднее арифметическое координат точек A1, B1 и D, C1 соответственно.

Поскольку точка F лежит на отрезке BE и 3BF = BE, то координаты точки F можно найти как точку, лежащую на отрезке BE, такую что расстояние от точки B до точки F равно 1/3 от расстояния от точки B до точки E.

После того как найдены координаты всех точек, можно найти векторы, соединяющие точки B и E, B и F, а также вектор, лежащий на плоскости AA1C1. Затем можно найти угол между вектором, лежащим на плоскости AA1C1, и вектором, соединяющим точки F и G, используя формулу для вычисления угла между векторами.

Далее, используя найденный угол между вектором FG и плоскостью AA1C1, можно найти угол между прямой FG и плоскостью AA1C1, используя свойства углов между прямой и плоскостью.

Таким образом, после нахождения координат точек и векторов, можно найти угол между прямой FG и плоскостью AA1C1.