Question

точки K , L , M , N - середины сторон четырехугольника ABCD . Докажите , что KL=NM.

Answer 1

Решение
Проведем диагонали АС и ВD. треугол. KBL подобен треуг. АВС (ВК\АВ = ВL\ВС = 1\2 и угол В - общий). Значит, угол BKL = углу BAC и KL\ АС = 1\2

Аналогично с треугольниками MDN и CDA. Мы получим:

MN\AC = 1\2  и  KL\ AC = 1\2.
В итоге из отношений мы видим, что MN = KL  
 

Вот и всё :) 

Answer 2

Вот подробный ответ на ваш вопрос:

Для доказательства того, что KL = NM, можно воспользоваться теоремой Вариньона, которая гласит, что середины сторон произвольного четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Тогда, по свойству параллелограмма, противоположные стороны равны и параллельны, то есть KL = NM и KL || NM.

Другой способ доказать это утверждение - использовать теорему о средней линии треугольника, которая говорит, что средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Тогда, рассмотрев треугольники ABM и CDN, можно заключить, что KL = AC/2 и NM = AC/2, а также KL || AC и NM || AC. Отсюда следует, что KL = NM и KL || NM, что и требовалось доказать.

Надеюсь, что это помогло вам понять решение задачи.