Question

В прямоугольный треугольник вписана окружность. точка касания делит гипотенузу на отрезки 3 см и 2 см. найти радиус этой окружности

Answer 1

Треугольник АВС, О-центр вписан.окруж., М-точка касания с гипотенузой АС, СМ=1, АМ=2, Е-точка касания с катетом ВС и К-точка касания с катетом АВ, СЕ=СМ=1 (отрезки, касательных к окружности, проведенных из одной точки), так же АК=АМ=2, ОЕ=ОК= радиусу окружности. ОЕ перпендикулярно к ВС (отрезок, проведенный от центра окружности к точке касания, перпендикю к данной стороне), также ОК перпендик. к ВА. угол АВС-90градусов. ВКОЕ-квадрат, где сторона равна радиусу и обозначим за х, тогда ВА=2+х, ВС=х+1, Ас=2+1=3-гипотенуза По теореме Пифагора (х+1)^2+(х+2)^2=3^2 x^2+2x+1+x^2+4x+4=9 2x^2+6x-4=0 сократим на 2 х^2+3x-2=0 дискрим Д=9+8=17 Х1=(-3+корень из 17)/2 (корень из 17 приблиз равен 4,12) х2=(-3-корень из17)/2 (отрицат. быть не может) Ответ: радиус равен (-3+корень из 17)/2

Answer 2

Для решения этой задачи воспользуемся свойствами вписанной окружности в прямоугольный треугольник.

Свойства вписанной окружности в прямоугольный треугольник

1. Точка касания окружности с прямоугольным треугольником является серединой отрезка, который соединяет вершину прямого угла с точкой касания. 2. Радиус окружности является высотой прямоугольного треугольника, опущенной из прямого угла на гипотенузу.

Решение

Пусть гипотенуза прямоугольного треугольника равна \(c\), а точка касания окружности с гипотенузой делит её на отрезки длиной \(m\) и \(n\), где \(m + n = c\).

Таким образом, мы имеем систему уравнений: 1. \(m + n = c\) 2. \(m \cdot n = r^2\), где \(r\) - радиус окружности.

Из условия задачи известно, что \(m = 3\) см и \(n = 2\) см.

Используем второе уравнение системы для нахождения радиуса: \[ r^2 = m \cdot n = 3 \cdot 2 = 6 \]

Теперь найдем значение радиуса: \[ r = \sqrt{6} \approx 2.45 \, \text{см} \]

Таким образом, радиус этой окружности составляет примерно 2.45 см.