Question

Докажите,что сумма квадратов двух медиан прямоугольного треугольника, проведённых к катетам равна 5/4 квадрата гипотенузы

Answer 1

Пусть АВС - исходный треугольник, С - вершина прямого угла, а АЕ и ВD - медианы.

Пусть  ВС = а, АС = b.  Тогда по теореме Пифагора

ВD² = BC² + CD² = a² + (b/2)² = a² + b²/4

AE² = AC² + CE² = b² + (a/2)² = b² + a²/4

Следовательно 

BD² + CE² = a² + b²/4 + b² + a²/4 = 5/4 * (a² + b²) = 5/4 * AB²

Answer 2

Для начала обозначим прямоугольный треугольник ABC, где AB и BC - катеты, а AC - гипотенуза. Пусть медианы, проведенные к катетам, пересекаются в точке M, тогда AM и BM - медианы.

Для начала найдем квадрат гипотенузы AC. По теореме Пифагора, AC^2 = AB^2 + BC^2.

Теперь найдем квадраты медиан AM и BM. Для этого найдем длины медиан AM и BM. По свойствам прямоугольного треугольника, AM = 1/2*√(2*AB^2 + 2*BC^2 - AC^2) и BM = 1/2*√(2