Question

Биссектрисы углов A и B треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите ∠A+ ∠B, если ∠AMB = 161 .В равнобедренном треугольнике ABC, с основанием AC проведена биссектриса AD.Найдите угол C, если ∠ADC = 123.

Answer 1

1)  AM - биссектриса  ⇒  ∠CAM = ∠BAM = 1/2 ∠A
     BM - биссектриса  ⇒  ∠CBM = ∠ABM = 1/2 ∠B

ΔABM : ∠AMB = 161°  ⇒ 
∠BAM + ∠ABM = 180° - ∠AMB = 180° - 161° = 19°
∠BAM + ∠ABM = 19° ⇒
1/2∠A + 1/2∠B = 19°  ⇒   ∠A + ∠B = 2 * 19° = 38°

Ответ: ∠A + ∠B = 38°

2)  ΔABC - равнобедренный  ⇒  ∠BAC = ∠C
    AD - биссектриса  ⇒   
  ∠BAD = ∠CAD = 1/2 ∠BAC = 1/2 ∠C
  ΔADC :
  ∠ADC + ∠DAC + ∠C = 180°
  123° + 1/2∠C + ∠C = 180°
   3/2∠C = 57°
   ∠C = 57° * 2/3 = 38°

Ответ:  ∠С = 38°

Answer 2

Для начала рассмотрим треугольник ABC. Поскольку биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M, то у нас есть теорема о пересекающихся биссектрисах, которая гласит, что точка пересечения биссектрис делит каждый угол треугольника на два равных угла. Таким образом, у нас есть равенство углов ∠AMB = ∠BMC = ∠CMA.

Теперь по условию известно, что ∠AMB = 161°. Поскольку угол ∠BMC равен ∠CMA, то ∠BMC = ∠CMA = 161° / 2 = 80.5°.

Теперь мы знаем угол ∠BMC, но нам нужно найти углы ∠A и ∠B. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то мы можем найти углы ∠A и ∠B, вычитая из 180° углы ∠BMC и ∠CMA:

∠A = 180° - 161° - 80.5° = 180° - 241.5° = -61.5° ∠B = 180° - 161° - 80.5° = 180° - 241.5° = -61.5°

Таким образом, углы ∠A и ∠B равны -61.5°.

Теперь рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с биссектрисой AD. Поскольку треугольник равнобедренный, то у нас есть теорема о биссектрисе, которая гласит, что биссектриса угла в равнобедренном треугольнике делит противолежащий угол на два равных угла. Таким образом, у нас есть равенство углов ∠DAC = ∠DAB.

Теперь по условию известно, что ∠ADC = 123°. Поскольку угол ∠ADC делится биссектрисой AD на два равных угла, то ∠DAC = ∠DAB = 123° / 2 = 61.5°.

Таким образом, угол C равен 61.5°.