Question

Точка дотику кола вписаного у прямокутну трапецію ділить більшу бічну сторону на відрізки 4 см і 9 смзнайдіть площу трапеції

Answer 1

Дана прямоугольная трапеция ABCD с основаниями AD u BC, угол BAD=90°. AB = 2r 
В трапецию можно вписать окружность только тогда, когда равны суммы противоположных сторон трапеции ⇒ AB + CD = BC + AD
Вписанная окружность касается боковой стороны трапеции в точке Е так, что CE = 4 см, DE = 9 cм ⇒ СD = CE + DE = 4 + 9 = 13 (cм)
Свойство прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность: Если точка касания делит боковую сторону на известные отрезки m и n, то радиус вписанной окружности равен
r = √(mn)
r = √(4*9) = √36 = 6 (см) ⇒ AB = 2*6 = 12 (см)

AB + CD = BC + AD
12 + 13 = BC + AD
BC + AD = 25 
BC = 25 - AD

Опустим высоту CF на основание AD. ABCF - прямоугольник ⇒ 
⇒ BC = AF ⇒ BC = AD - DF ⇒ 25 - AD = AD - DF 
AD + AD - DF = 25
2AD - DF = 25

В прямоугольном треугольнике CDF:
CD = 13 cм - гипотенуза
СF = AB = 12cм - катет
DF - катет

по теореме Пифагора
CF² + DF² = CD²
12² + DF² = 13²
144 + DF² = 169
DF² = 169 - 144
DF² = 25
DF = √25
DF = 5

2AD - 5 = 25
2AD = 25 + 5
2AD = 30
AD = 30 / 2 
AD = 15 (cм)
BC = 25 - 15 = 10 (cм)

Свойство прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность: Если в прямоугольную трапецию вписана окружность, площадь трапеции равна произведению ее оснований

S = BC * AD
S = 10 * 15 = 150 (см²)

Answer 2

Для розв'язання цієї задачі, нам потрібно використати властивості точок дотику кола, вписаного у прямокутну трапецію. Давайте розглянемо це крок за кроком.

Властивості точок дотику кола

У прямокутній трапеції, коло, вписане у неї, торкається кожної сторони трапеції. При цьому точки дотику кола з кожною стороною утворюють прямі кути.

Розв'язок задачі

Дано, що більша бічна сторона трапеції розділена точкою дотику кола на відрізки 4 см і 9 см. Нехай ці відрізки утворюють відрізки AB і BC відповідно.

Ми можемо застосувати теорему Піфагора для знаходження довжини меншої бічної сторони трапеції. За теоремою Піфагора, сума квадратів катетів у прямокутному трикутнику дорівнює квадрату гіпотенузи.

У нашому випадку, катет AB дорівнює 4 см, катет BC дорівнює 9 см, а гіпотенуза AC - довжині меншої бічної сторони трапеції - ми позначимо її як x.

Тоді застосовуючи теорему Піфагора, ми отримуємо:

AB^2 + BC^2 = AC^2

4^2 + 9^2 = x^2

16 + 81 = x^2

97 = x^2

Тепер ми знаходимо квадратний корінь з обох боків рівняння:

x = √97

Таким чином, довжина меншої бічної сторони трапеції, яка дотикається кола, становить √97 см.

Знаходження площі трапеції

Для знаходження площі трапеції, ми можемо використовувати формулу:

Площа = (сума основ) * висота / 2

У нашому випадку, одна з основ - більша бічна сторона трапеції, яка дорівнює 9 см, інша основа - менша бічна сторона трапеції, яка дорівнює √97 см, а висота - відстань між двома основами, яка може бути знайдена за допомогою теореми Піфагора, як ми показали вище.

Таким чином, площа трапеції становить:

Площа = (9 + √97) * висота / 2

Це є розв'язок задачі. Застосовуючи відповідні значення висоти, ми можемо обчислити площу трапеції.