Question

Найдите косинус угла М треугольника КСМ, если К(1;7), С(-2;4), М(2;0)

Answer 1

$KC=\sqrt{(-2-1)^2+(4-7)^2}=\sqrt{18}$

$KM=\sqrt{(2-1)^2+(0-7)^2}=\sqrt{50}$

$MC=\sqrt{(-2-2)^2+(4-0)^2}=\sqrt{32}$

$KC^2=KM^2+MC^2-2*MC*MK*cosM$

$2*KM*MC*cosM=KM^2+MC^2-KC^2$

$cosM=\frac{KM^2+MC^2-KC^2}{2KM*MC}=\frac{50+32-18}{2\sqrt{50}\sqrt{32}}=0,8$

Answer 2

Для того чтобы найти косинус угла M треугольника KСM, мы можем воспользоваться формулой косинуса для вычисления угла между двумя векторами в декартовой системе координат. Давайте разберёмся, как это сделать.

Нахождение векторов

Сначала найдем векторы KM и KC. Вектор можно найти, вычитая координаты начальной точки из координат конечной точки. Таким образом, вектор KM будет равен:

\[ \overrightarrow{KM} = \overrightarrow{M} - \overrightarrow{K} = (2-1, 0-7) = (1, -7) \]

и вектор KC будет равен:

\[ \overrightarrow{KC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{K} = (-2-1, 4-7) = (-3, -3) \]

Нахождение косинуса угла

Теперь, когда у нас есть векторы KM и KC, мы можем использовать формулу для вычисления косинуса угла между этими векторами:

\[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{KM} \cdot \overrightarrow{KC}}{\lVert \overrightarrow{KM} \rVert \cdot \lVert \overrightarrow{KC} \rVert} \]

где \( \overrightarrow{KM} \cdot \overrightarrow{KC} \) - скалярное произведение векторов, а \( \lVert \overrightarrow{KM} \rVert \) и \( \lVert \overrightarrow{KC} \rVert \) - их длины (модули).

Вычисление скалярного произведения и длин векторов

Сначала вычислим скалярное произведение векторов:

\[ \overrightarrow{KM} \cdot \overrightarrow{KC} = (1, -7) \cdot (-3, -3) = 1*(-3) + (-7)*(-3) = 3 + 21 = 24 \]

Теперь найдем длины векторов:

\[ \lVert \overrightarrow{KM} \rVert = \sqrt{1^2 + (-7)^2} = \sqrt{1 + 49} = \sqrt{50} \approx 7.07 \]

\[ \lVert \overrightarrow{KC} \rVert = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18} \approx 4.24 \]

Вычисление косинуса угла

Теперь, подставляя значения в формулу, получаем:

\[ \cos(\theta) = \frac{24}{7.07 * 4.24} \approx \frac{24}{30} \approx 0.8 \]

Итак, косинус угла M треугольника KСM примерно равен 0.8.