Question

Укажите уравнение окружности, проходящей через точку А(4;-7) и концентричной с окружностью х^2 + y^2 + 4x -2y -12=0

Answer 1

Концентрические окружности имеют один центр

Answer 2

Для того чтобы найти уравнение окружности, проходящей через точку A(4, -7) и концентричной с окружностью x^2 + y^2 + 4x - 2y - 12 = 0, мы должны найти радиус этой новой окружности.

Чтобы найти радиус, нам понадобится найти центр новой окружности. Для этого мы можем воспользоваться информацией о концентричной окружности. Уравнение данной окружности имеет вид x^2 + y^2 + 4x - 2y - 12 = 0.

Для начала, давайте приведем уравнение концентричной окружности к каноническому виду. Мы можем сделать это, завершив квадраты для x и y, а затем сгруппировав коэффициенты:

x^2 + 4x + y^2 - 2y = 12

Теперь мы можем завершить квадраты для x и y, добавив к обеим сторонам уравнения недостающие квадратичные члены. Для этого мы должны добавить (4/2)^2 = 4 к обеим сторонам для завершения квадрата для x и (-2/2)^2 = 1 к обеим сторонам для завершения квадрата для y:

x^2 + 4x + 4 + y^2 - 2y + 1 = 12 + 4 + 1

Теперь у нас есть следующее уравнение:

(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 17

Из этого уравнения мы видим, что центр концентричной окружности находится в точке (-2, 1), а радиус равен sqrt(17).

Теперь, когда у нас есть радиус, мы можем использовать его и точку A(4, -7), чтобы найти уравнение новой окружности.

Уравнение окружности имеет следующий вид:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

где (h, k) - координаты центра окружности, а r - радиус окружности.

Мы уже знаем, что (h, k) = (-2, 1) и r = sqrt(17), поэтому мы можем заменить эти значения в уравнение окружности:

(x - (-2))^2 + (y - 1)^2 = (sqrt(17))^2

(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 17

Таким образом, уравнение окружности, проходящей через точку A(4, -7) и концентричной с окружностью x^2 + y^2 + 4x - 2y - 12 = 0, будет:

(x + 2)^2 + (y - 1)^2 = 17