Question

Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Длина стороны AC равна 4. Найдите радиус описанной окружности треугольника ABC.

Answer 1

Пусть середина стороны ВС - точка Е.
МЕ - медиана треугольника ВМС, и МЕ перпендикулярна ВС, так как вписанный угол ВЕМ опирается на диаметр ВМ. ПОЭТОМУ треугольник ВМС - равнобедренный, то есть ВМ = МС, которая в свою очередь равна АМ. 
То есть точка М - равноудалена от вершин треугольника АВС, а, значит, является центром описанной окружности, и АМ = МС = МВ = АС/2 = 2 - радиус описанной окружности.

Answer 2

Для начала, давайте рассмотрим, что такое медиана в треугольнике и как это связано с диаметром описанной окружности.

Медиана треугольника

Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. В случае треугольника ABC, медиана BM соединяет вершину B с серединой стороны AC.

Свойство медианы и описанной окружности

Если медиана треугольника является диаметром окружности, пересекающей соответствующую сторону треугольника в её середине, то существует связь между радиусом описанной окружности и длинами сторон треугольника.

Нахождение радиуса описанной окружности

Для нахождения радиуса описанной окружности треугольника ABC, мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Найдем длину медианы BM, используя свойства медианы и длины стороны AC. 2. Используем полученную длину медианы в качестве диаметра для описанной окружности и найдем радиус.

Решение

Длина стороны AC равна 4, поэтому медиана BM равна половине длины высоты, опущенной из вершины B на сторону AC. Для нахождения высоты треугольника можно воспользоваться формулой:

\[h = \sqrt{4x(x-a)(x-b)(x-c)}\]

где a, b, c - длины сторон треугольника, x - полупериметр треугольника (x = (a + b + c)/2).

После нахождения длины медианы BM, радиус описанной окружности будет равен половине длины медианы.

Давайте вычислим длину медианы BM и найдем радиус описанной окружности для треугольника ABC.