Question

) В равнобедренном треугольнике АВС АВ=ВС, угол А = 65 градусов. Через середину Е АВ проведена прямая, пересекающая ВС в точке К, угол КЕВ = 20 градусов. НАйдите площадть треугольника ВЕК и радиус окружности описанной около треугольника АВС, если ВК = 5.

Answer 1

Из треугольника ВЕК по теореме синусов:
$\angle BKE=180^o-\angle BEK-\angle BKE=180^o-20^o-50^o=110^o$

sin 110°=sin (180°-70°)=sin 70°

$\frac{BE}{sin \angle BKE} = \frac{BK}{sin \angle BEK} \\ \\ BE= \frac{5\cdot sin 70^o}{sin 20^o } \\ \\ AB=2\cdot BE= \frac{10\cdot sin 70^o}{sin 20^o }$

sin 70°≈0,94
sin 20°≈0,34

AB=BC≈10·0,94/0,34=27,6  

По теореме синусов

$\frac{AB}{sin\angle C}=2R \\ \\ R= \frac{10\cdot sin 70^o}{2\cdot sin 20^0\cdot sin 65^o}$

sin 65°≈0,91
R≈15,2

$S(\triangle BEK)= \frac{BE\cdot BK\cdot sin 50^0}{2}$

sin 50°≈0,77

S(ΔBEK)≈31,4  кв. ед

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать свойства равнобедренного треугольника и треугольника, описанного вокруг окружности.

Определение сторон треугольника ВЕК

Поскольку треугольник АВС является равнобедренным, то сторона АВ равна стороне ВС. По условию АВ = ВС, и угол А равен 65 градусам.

Определение углов треугольника ВЕК

Известно, что угол КЕВ равен 20 градусам. Также, поскольку АВС является равнобедренным треугольником, угол К равен углу В в этом треугольнике, то есть 65 градусам.

Площадь треугольника ВЕК

Чтобы найти площадь треугольника ВЕК, мы можем воспользоваться формулой площади треугольника, которая выглядит следующим образом:

Площадь треугольника = (1/2) * основание * высота

В данном случае основание треугольника ВЕК - это сторона ВК, которая равна 5, а высота - это расстояние от точки К до прямой ЕАВ.

Радиус окружности, описанной около треугольника АВС

Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, можно найти с помощью формулы радиуса описанной окружности, которая выглядит следующим образом:

Радиус окружности = (сторона треугольника АВС) / (2 * sin(угол треугольника АВС))

В данном случае сторона треугольника АВС - это сторона АВ (или ВС), которая равна 5, а угол треугольника АВС - это угол А (или угол В), который равРешение:

Для начала найдем высоту треугольника $ABC$ из вершины $A$. Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то высота $AH$ будет также являться медианой и биссектрисой, а также высотой и медианой треугольника $ABE$.

Нахождение высоты треугольника $ABC$:

Используем формулу для нахождения высоты треугольника: \[ AH = AB \cdot \sin(\angle A) = AB \cdot \sin(65^\circ) \]

Нахождение площади треугольника $ABE$:

Площадь треугольника $ABE$ равна половине произведения основания на высоту: \[ S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AH \]

Нахождение радиуса описанной окружности:

Радиус описанной окружности можно найти по формуле: \[ R = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4S_{ABC}} \] где $S_{ABC}$ - площадь треугольника $ABC$.

Нахождение площади треугольника $ABC$:

Площадь треугольника $ABC$ можно найти с использованием формулы Герона: \[ S_{ABC} = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)} \] где \[ p = \frac{AB + BC + AC}{2} \]

После нахождения площади треугольника $ABC$ можно найти радиус описанной окружности.

Теперь, имея площадь треугольника $ABE$ и радиус описанной окружности, мы можем найти искомые значения.

Подставим известные значения в формулы и найдем ответ.