Question

В треугольнике CDE точка K лежит на стороне CE причем угол CKD острый. Докажите, что DE > DK Распишите пожалуйста решение полностью.

Answer 1

В треугольнике KDE угол DKE тупой (так как угол СКD острый - дано, а угол DKE - смежный с углом DKE и в сумме с ним составляет 180 градусов). В треугольнике может быть только ОДИН тупой угол, а против большего угла лежит большая сторона. Следовательно, сторона DE - больше двух других и DE>DK, что и требовалось доказать.

Answer 2

Для доказательства того, что DE > DK, мы можем использовать теорему косинусов.

Обозначим угол CKE как α. Тогда угол DCK будет равен (90-α), так как угол CKD острый.

Теперь мы можем применить теорему косинусов к треугольнику CKE: CK^2 = CE^2 + EK^2 - 2*CE*EK*cos(α)

Теперь применим теорему косинусов к треугольнику CDK: DK^2 = DE^2 + EK^2 - 2*DE*EK*cos(90-α)

Так как cos(90-α) = sin(α), мы можем переписать последнее уравнение: DK^2 = DE^2 + EK^2 - 2*DE*EK*sin(α)

Теперь сравним два уравнения: CK^2 - CE^2 = DE^2 - DK^2

Так как CK > CE (так как K лежит на стороне CE), то CK^2 - CE^2 > 0. Таким образом, DE^2 - DK^2 > 0, что означает, что DE > DK.

Таким образом, мы доказали, что DE > DK.