Question

Точки E и F-середины сторон BC и AD выпуклого четырехугольника ABCD. Докажите, что отрезок EF делит диагонали AC и BD в одном и том же отношении.

Answer 1

Назовем прямую, проходящую через середины противолежащих сторон четырехугольника, его средней линией.

Рассмотрим геометрическое место точек D' таких, что прямая l, совпадающая с (EF) является средней линией четырехугольника ABCD'. Этим ГМТ является прямая l' – образ прямой l при гомотетии с центром в точке A и коэффициентом 2 (

). Так как l' || l, то для любой точки D'∈l' отрезки BD и BD' делятся прямой l в одном и том же отношении. Так как у четырехугольников ABCD и ABCD' диагональ AС и средняя линия l — общие, а диагонали BD и BD' делятся прямой l в одном и том же отношении, то утверждение задачи достаточно доказать хотя бы для одного из четырехугольников ABCD'. Но это утверждение очевидно для случая, когда (AD') || (BC), то есть, когда ABCD' — трапеция.