Question

Точка К- середина стороны AB квадрата ABCD, а точка L делит диагональ АС в отношении 3:1. Докажите, чио угол КLD-прямой

Answer 1

Если провести через точку L прямую MN II BC (М лежит на АВ, N лежит на DC), то прямоугольные треугольники KLM и LND равны. Не подобны, а именно равны, LM = DN = 3a/4; KM = LN = a/4; a - сторона квадрата. Поэтому угол MLK = угол LDN. Две стороны этих углов ML и DN взаимно перпендикулярны, значит, и KL перпендикулряно LD.

 

(есть куча эквивалентных способов завершения доказательства, если непонятно, то можно например провести PQ II СD через L, тогда угол DLQ = угол MLK, то есть угол KLD получается из прямого угла MLQ поворотом на угол MLK.) 

 

А вот векторное решение, для разнообразия (жирным обозначены векторы).

если ввести 2 перпендикулярных вектора a = АВ; b = BC;

скалярное произведение ab = ba = 0

то 

AC = a + b; AL = 3(a + b)/4;

LK = a/2 - 3(a + b)/4 = - (a + 3b)/4;

LD = b - 3(a + b)/4 = (b - 3a)/4;

Легко видеть, что 

скалярное произведение (LKLD) = (-1/4)(ab + 3a^2 - 3b^2 - 9ba) = 0;

(поскольку a^2 = b^2;)

то есть эти векторы перпендикулярны, чтд.