Question

Известно,что угол при вершине В1 правильного многоугольника В1В2В3...Вn равен 150 градусов, а радиус описанной около этого многоугольника окружности равен 8корней из 3. Найдите высоту В4H треугольника В2В4В8.

Answer 1

сумма внутреннего и центрального углов правильного многоугольника равна 180 градусов, поэтому цетральный угол этого многоугольника равен 30 градусов. зная центральный угол можем найти колличество сторон этого правильного многоугольника: 360:30=12, т.е. это двенадцатиугольник

рассмотрим треугольникВ2В4В8, его сторона В2В8 есть диаметромокружности, описаной около этого двенадцатиугольника, поэтому сторона В2В8=двум радиусам описаной окружности=16корней из3

треугольник В2В4В8-прямоугольный, так как вписан в окружность и опирается на ее диаметр

рассмотрим треугольник В2В3В4, угол В2В3В4 равен 150 градусов как внутренний угол многоугольника, треугольник является еще и равнобедренным, что вытекает из свойств правильного многоугольника ⇒ угол В3В2В4 равен 15 градусов

В2В8 - диаметр описаной окружности, поэтому В2В8 есть бисекетрисса угла В1В2В3 и угол В8В2В4 равен 75-15=60 градусов

треугольник В2В4В8 прямоугольный и его один угол 60 градусов, значит угол В4В8В2 равен 30 градусов, а значит В2В4= половине гипотенузы В2В8, т.е. равна 8 корней из 3

рассмотрим трейгольник В2В4Н он тоже прямоугольный, так как В4Н-высота, и у него один угол 60 градусов можем най ти В4Н= В2В4 умножить на синус 60 градусов=8 корней из 3 умножить корень из 3 на 2= 12 см