Question

У рівнобедреному трикутнику АВС(АВ=АС) кут А дорівнює 100 градусів, відрізок ВD-бісектриса трикутника. Доведіть, що BD+AD=BC(с объяснением и рисунком)

Answer 1

В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=АС) угол А равен 100°, отрезок ВD- биссектриса треугольника. Докажите, что ВD+AD=BC ———————

Сделаем рисунок.

∠АВС=∠АСВ=(180°-100°):2=40°

 Проведем биссектрису СМ и отрезок МD. 

В  ∆ АМС и ∆ АDВ стороны  АВ=АС по условию. 

Угол при А - общий, углы АВD=АСМ =40:2=20°  как половины равных углов.

∆ АМС = ∆ АDВ по равной стороне и прилежащим к ней равным углам.  

Следовательно, АМ=АD, и  ∆ АМD - равнобедренный.  

Углы треугольников АВС и АМD  при их  основаниях равны, они  соответственные при пересечении двух прямых секущими, и поэтому   МD||ВС (свойство), ⇒

 ∠ DМС=∠МСВ как накрестлежащие при параллельных прямых и секущей. 

А т.к. СМ - биссектриса, то ∠ DСМ=∠ МСD

 ∆ МDС - равнобедренный, МD=DС. 

 Отложим на ВС отрезок ВК=ВD  Соединим D и К.  

∆ КВD - равнобедренный по построению. 

Угол КВD=20°. следовательно,  углы при КD=по 80°

Тогда угол СКD=100° как смежный углу DKB . 

∠ КДС=180°-100°-40°=40° ⇒ ∆ СКD - равнобедренный.  и равен треугольнику МАD по стороне и прилежащим к ней углам. КС=АD

ВС=ВК+КС, КС=АD,  ⇒  ВD+АD=ВС, что и требовалось доказать.