Question

Центры вписанной и описанной окружностей треугольника АВС лежат по разные стороны от прямой АВ. Длина стороны АВ равна радиусу описанной окружности. Найти угол АОВ, если О- центр вписанной окружности.

Answer 1

Точка О1 - центр описанной окружности.
Так как по условию R=AB и R=О1А=О1В, то тр-ник АВО1 -  правильный, значит ∠АО1В=60°.
Градусная мера большой дуги АВ, на которую опирается вписанный угол АСВ равна 360-∠АО1В=300°, значит ∠АСВ=150°.
В тр-ке АВС ∠А+∠В=180-∠С=180-150=30°.
Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис углов тр-ка, значит АО и ВО - биссектрисы.
В тр-ке АОВ ∠ОАВ=∠А/2, ∠ОВА=∠В/2.
∠АОВ=180-(∠ОАВ+∠ОВА)=180-(∠А+∠В)/2=180-30/2=165° - это ответ.