Question

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали пересекаются в точке O .Докажите что площади треугольников АОВ и СОD равны

Answer 1

То, что треугольники, образованные при пересечении диагоналей трапеции и лежащие на боковых сторонах равновелики - одно из свойств трапеции. Доказывается просто.

Проводим высоты BH и CK к основанию AD. Через основание и высоты находим площади треугольников ABD и ACD.
 $S_{ABD}= \dfrac{1}{2}*BH*AD \\ S_{ACD}= \dfrac{1}{2}*CK*AD$
Очевидно, что BH=CK, значит треугольники ABD и ACD равновеликие. Перепишем их площадь в виде суммы площадей треугольников, из которых состоят ΔABD и ΔACD.
 $S_{ABD}=S_{AOB}+S_{AOD} \\ S_{ACD}=S_{COD}+S_{AOD}$
приравняем
$S_{AOB}+S_{AOD}=S_{COD}+S_{AOD} \\ S_{AOB}=S_{COD}$

Все. Доказали.