Question

В прямом параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AD=17, DC=28, AC=39. Диагональ боковой грани A1D составляет с плоскостю боковой грани DD1C1C угол 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности параллелепипеда

Answer 1

В прямом параллелепипеде все рёбра перпендикулярны плоскости оснований, боковые грани - прямоугольники, основания - параллелограммы. 

Построим угол между А1D  и боковой гранью. 

Угол между прямой и плоскостью – это угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.

Опустим перпендикуляр из А1 на плоскость боковой грани DD1C1C и соединим его основание Н с D. 

HD- проекция А1D на плоскость грани DD1C1C.

∆ DHA1- прямоугольный равнобедренный, т.к. угол А1DН1=45°  по условию, ⇒ катеты НА1  и НD равны. 

Катет А1Н перпендикулярен стороне D1C1 и является  высотой параллелограмма А1В1С1D1 - основания данного параллелепипеда, проведенной из его острого угла. 

Проведем диагональ АС=39 в основании. 

По формуле Герона площадь треугольника

S=√(p•(p-a)(p-b)(p-c), где р - полупериметр треугольника, а, b, c- его стороны. р=42  S ∆ АВС=210.  

 Площадь параллелограмма в 2 раза больше=420 (ед. площади)

Высота А1Н=S/a=420:28=15

Из ∆ А1НD гипотенуза А1D=A1H:sin45°=15√2

Высота прямого параллелепипеда равна боковому ребру. 

Из ∆ АА1D высота АА1=√ (A1D²-AD²)=√(450-289)=√161= ≈ 12,69

Площадь боковой поверхности прямого параллелепипеда равна произведению высоты на периметр основания. 

Sбок=12,69•2•(28+17)= ≈1142,1 (ед. площади)

Sполн=2•420+1142,1= ≈1982,1 (ед. площади)

--------

Нагляднее рисунок получился бы, если ∠А основания был бы тупым. Но вычисления дают диагональ BD=25, поэтому данный рисунок  больше соответствует условию.