Question

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника образует с гипотенузой углы один из которых равен 70 градусов Найдите острые углы этого треугольника

Answer 1

Биссектриса прямого угла прямоугольного треугольника образует с гипотенузой углы один из которых равен 70 градусов Найдите острые углы этого треугольника

Биссектриса прямого угла , т.е. прямой угол разбит на 2 угла по  45

биссектриса делит треугольник -на два треугольника 

в одном углы   70 , 45 , 180-70-45=65

в другом          90-65=25 , 45 , 110

Ответ острые углы  25 и 65

Answer 2

Для решения задачи, давайте обозначим углы прямоугольного треугольника. Обозначим прямой угол через \(90^\circ\), гипотенузу через \(c\), а катеты через \(a\) и \(b\). Поскольку речь идет о биссектрисе, давайте обозначим точку, где биссектриса касается гипотенузы, как \(D\).

Известно, что один из углов между биссектрисой и гипотенузой равен \(70^\circ\). Также известно, что биссектриса делит угол \(C\) (противоположный гипотенузе) на два равных угла.

Теперь у нас есть два треугольника: \(\triangle ABC\) и \(\triangle ABD\).

Из угловой суммы треугольника мы знаем, что сумма углов в любом треугольнике равна \(180^\circ\). Таким образом, в треугольнике \(\triangle ABC\) мы можем выразить угол \(A\) (противоположный катету \(a\)):

\[A = 180^\circ - B - C\]

Теперь обратим внимание на треугольник \(\triangle ABD\). Из угловой суммы для этого треугольника мы можем записать:

\[A + \angle ABD + \angle DAB = 180^\circ\]

Подставим выражение для угла \(A\) из треугольника \(\triangle ABC\):

\[(180^\circ - B - C) + \angle ABD + \angle DAB = 180^\circ\]

Теперь у нас есть уравнение с углами \(B\), \(C\), \(\angle ABD\) и \(\angle DAB\). Мы знаем, что \(\angle ABD = \angle DAB\) (так как это углы, образованные биссектрисой), и что один из углов \(B\) или \(C\) равен \(70^\circ\).

Подставим это в уравнение и решим:

\[(180^\circ - B - C) + 70^\circ + 70^\circ = 180^\circ\]

Сократим подобные члены:

\[(180^\circ - B - C) + 140^\circ = 180^\circ\]

Теперь выразим угол \(B\) через угол \(C\):

\[180^\circ - B - C + 140^\circ = 180^\circ\]

\[-B - C = -140^\circ\]

\[B + C = 140^\circ\]

Таким образом, сумма углов \(B\) и \(C\) равна \(140^\circ\). Поскольку один из этих углов равен \(70^\circ\), найдем второй:

\[B = 140^\circ - 70^\circ = 70^\circ\]

Таким образом, углы треугольника равны \(70^\circ\), \(70^\circ\) и \(90^\circ\).