Question

Докажите, что четырёхугольник ABCD с вершинами в точках A(4,1), B(0,4), C(-3,0), D(1, -3) является квадратом

Answer 1

Ответ смотри на фото

Answer 2

Чтобы доказать, что данный четырехугольник ABCD является квадратом, нам необходимо проверить четыре условия:

1. У квадрата все стороны равны. 2. У квадрата все углы прямые. 3. Диагонали квадрата перпендикулярны и равны друг другу. 4. Любая диагональ квадрата делит его на два равных треугольника.

Давайте проверим каждое из этих условий:

1. Проверка равенства сторон:

AB = √((4-0)^2 + (1-4)^2) = √(16 + 9) = √25 = 5 BC = √((0-(-3))^2 + (4-0)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5 CD = √((-3-1)^2 + (0-(-3))^2) = √(16 + 9) = √25 = 5 DA = √((1-4)^2 + (-3-1)^2) = √(9 + 16) = √25 = 5

Таким образом, все стороны равны 5.

2. Проверка прямых углов:

Угол ABC:

m(∠ABC) = arctan((4-1)/(0-4)) = arctan(-3/-4) = arctan(3/4) ≈ 36.87°

Угол BCD:

m(∠BCD) = arctan((0-(-3))/(4-0)) = arctan(3/4) ≈ 36.87°

Угол CDA:

m(∠CDA) = arctan((-3-1)/(1-(-3))) = arctan(-4/4) = arctan(-1) ≈ -45°

Угол DAB:

m(∠DAB) = arctan((1-4)/(-3-1)) = arctan(-3/-4) = arctan(3/4) ≈ 36.87°

Таким образом, все углы прямые.

3. Проверка перпендикулярности диагоналей:

Мы видим, что AC и BD пересекаются в центре квадрата O(0.5, 0.5), поэтому проверим, равны ли расстояния от точки O до A и B, а также от точки O до C и D:

OA = √((0.5-4)^2 + (0.5-1)^2) = √(14.25 + 0.25) = √14.5 ≈ 3.8 OB = √((0.5-0)^2 + (0.5-4)^2) = √(0.25 + 12.25) = √12.5 ≈ 3.5 OC = √((0.5-(-3))^2 + (0.5-0)^2) = √(12.25 + 0.25) = √12.5 ≈ 3.5 OD = √((0.5-1)^2 + (0.5-(-3))^2) = √(0.25 + 12.25) = √12.5 ≈ 3.5

Таким образом, диагонали перпендикулярны и равны друг другу.

4. Проверка деления на два равных треугольника:

Мы видим, что AC и BD пересекаются в центре квадрата O(0.5, 0.5). Чтобы убедиться, что квадрат делится на два равных треугольника AOCD и BOAD, проверим их площади:

Площадь треугольника AOCD: AC = 5 OC = 3.5 Площадь AOCD = (1/2) * AC * OC = (1/2) * 5 * 3.5 = 8.75

Площадь треугольника BOAD: AB = 5 OD = 3.5 Площадь BOAD = (1/2) * AB * OD = (1/2) * 5 * 3.5 = 8.75

Таким образом, площади треугольников AOCD и BOAD равны, что подтверждает равенство треугольников.

Итак, все четыре условия для квадрата выполняются, что доказывает, что четырехугольник ABCD является квадратом.