Question

В равнобедренной трапеции высота равна 10, а диагональ перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапеции,если ее боковая сторона в 1,5 раза меньше ее большего основания

Answer 1

Трапеция АВСД : АД - большее основание, ВС - меньшее основание, АВ = СД  - боковые стороны, АС -диагональ трапеции.
АС I  СД; Обозначим АВ = СД = х; тогда АД = 3х/2., ВН = 10 - высота трапеции

Рассмотрим ΔАСД. Найдём в нём катет АС = √((3х/2)² - х²) = (х√5)/2
Площадь ΔАСД равна: с одной стороны, половине произведения катетов, т.е.
S = 0,5 АС·СД. А с другой стороны  - половине произведения основания на высоту, т.е S = 0,5 AД·ВН. Приравняем правые части этих выражений
0,5 АС·СД = 0,5 АД·ВН
АС·СД = АД·ВН
 (х√5)/2 ·  х = 3х/2 · 10
х²·√5 = 30х            х ≠0
х√5 = 30
х = 30/√5 = 6√5
тогда большее основание равно АД = 3х/2 = 9√5
Рассмотрим ΔАВН и найдём катет АН по гипотенузе АВ = СД = х = 6√5 и катету ВН = 10, используя теорему Пифагора:
АН = √(АВ² - ВН²)= √(36·5 - 100) =√80 = 4√5
Меньшее основание трапеции ВС = АД - 2АН = 9√5 - 2·4√5 = √5
Площадь трапеции равна S = 0,5 (АД + ВС)·ВН = 0,5(9√5 + √5)·10 =
 = 5·10√5 = 50√5
Ответ: 50√5

Answer 2

Пусть основания трапеции равны a и b (где a - большее основание, b - меньшее основание), а высота равна h. Из условия задачи известно, что h = 10 и диагональ трапеции перпендикулярна боковой стороне. Обозначим боковую сторону как d.

Согласно свойствам равнобедренной трапеции, диагонали равны между собой. Поэтому, d = a.

Также известно, что боковая сторона в 1,5 раза меньше ее большего основания. То есть, b = (3/2)a.

Площадь трапеции можно найти по формуле: S = (a + b) * h / 2.

Подставляя значения из условия задачи, получаем: S = (a + (3/2)a) * 10 / 2 S = (5/2a) * 10 / 2 S = (5a) / 4

Итак, площадь трапеции равна (5a) / 4.