Question

ABCD-прямоугольник. AB=3,AD=5,точка F такова, что (произведения векторов)AF*AB=-18,AF*AD=2. а)разложите вектор AF по векторам АВ и AD. б)разложите вектор ВF по векторам СА и BD. в)как расположены прямые DF и АС?

Answer 1

Решение на изображении

Answer 2

Для начала построим данную систему координат и прямоугольник ABCD.

-----------D -----------| -----------| -----------C

По условию задачи, ab = 3 и ad = 5. Также, из условия af*ab = -18 и af*ad = 2, мы можем составить следующую систему уравнений:

3*af*cos(θ) - 5*af*sin(θ) = -18 (1) 3*af*sin(θ) + 5*af*cos(θ) = 2 (2)

где θ - угол между вектором af и стороной ab.

a) Разложим вектор af по векторам AB и ad. Пусть вектор af = x*AB + y*ad.

Тогда |af|^2 = |x*AB + y*ad|^2 = (x*AB + y*ad)^2 = (x*AB)^2 + 2*(x*AB)*(y*ad) + (y*ad)^2 = x^2*|AB|^2 + 2*x*y*(AB*ad) + y^2*|ad|^2 = x^2*3^2 + 2*x*y*(-3*5) + y^2*5^2 = 9x^2 - 30xy + 25y^2

С другой стороны, |af|^2 = |af*AB|^2 + |af*ad|^2 = (af*AB)^2 + (af*ad)^2 = (-18)^2 + 2^2 = 324 + 4 = 328

Таким образом, получаем уравнение: 9x^2 - 30xy + 25y^2 = 328 (3)

b) Разложим вектор Bf по векторам СА и bd. Выполним аналогичные шаги и получим уравнение: 9x^2 + 30xy + 25y^2 = 52 (4)

c) Прямые df и АС равновеликие, так как они представляют собой главные диагонали параллелограммов ABDF и ACDF, соответственно. То есть, они пересекаются в его середине.

Таким образом, прямые df и АС пересекаются в точке, которая лежит на главной диагонали прямоугольника ABCD и делит ее пополам.