Question

один из углов треугольника равен сумме двух других. докажите, что данный треугольник прямоугольный.

Answer 1

пусть один угол=x.

второй=y, тогда третий=x+y.

сумма углов.

x+y+x+y=180

2x+2y=180

x+y=180/2

x+y=90.

все.

Answer 2

Пусть треугольник ABC имеет угол C, который равен сумме двух других углов A и B, то есть C = A + B.

Для доказательства прямоугольности треугольника, используем теорему синусов, которая гласит:

a/sinA = b/sinB = c/sinC,

где a, b и c - стороны треугольника, а A, B и C - соответствующие им углы.

По условию дано, что C = A + B. Заменяем C на данное выражение в формуле:

a/sinA = b/sinB = c/sin(A + B).

Так как C = A + B, то заменяем sin(C) на sin(A + B):

a/sinA = b/sinB = c/sin(A + B) = c/sinC.

Разделяя остальные два делителя на соответствующие числители, получаем:

a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R,

где R - радиус описанной окружности треугольника ABC.

Легко заметить, что для треугольника, у которого a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R, выполняется условие прямоугольности, так как если применить синусы к противоположным углам A и B, то получаем:

sinA = a/2R sinB = b/2R

Если просто возвести обе стороны уравнений в квадрат и сложить, то получим:

sin^2 A + sin^2 B = (a/2R)^2 + (b/2R)^2 = (a^2 + b^2)/(4R^2).

Также, по теореме Пифагора, известно, что:

c^2 = a^2 + b^2.

Сравнив эти два выражения, получаем:

c^2 = (a^2 + b^2)/(4R^2).

Умножаем обе части на 4R^2:

4R^2 * c^2 = a^2 + b^2.

Но мы знаем, что a/sinA = b/sinB = c/sinC = 2R, поэтому можем написать:

2R * c = a, 2R * c = b.

Подставляем в полученное равенство:

4R^2 * c^2 = (2R * c) ^2 + (2R * c) ^2.

4R^2 * c^2 = 4R^2 * c^2 + 4R^2 * c^2.

Упрощаем:

4R^2 * c^2 - 4R^2 * c^2 - 4R^2 * c^2 = 0.

Таким образом, мы получаем:

0 = 0.

Это означает, что наше предположение о треугольнике, у которого угол C равен сумме двух других углов, верно, и такой треугольник является прямоугольным.