Question

В равнобокой трапеции с боковой стороной a и острым улом α меньшее основание равно боковой стороне.Найдите большее основание и площадь трапеции.

Answer 1

Трапеция ABCD,AB=BC=CD=a,<A=α
BH_|_AD
AH=acosα
BH=asina
AD=2AH+BC=2acosα+a
S=(AD+BC)*BH/2=(2acosα+a+a)*asinα/2=2a(cosα+1)asinα/2=a²(cosα+1)*sinα

Answer 2

Давайте обозначим данную равнобокую трапецию. Пусть \(ABCD\) — трапеция, где \(AB\) и \(CD\) — основания, \(BC\) и \(AD\) — боковые стороны, а \(AD\) — острый угол \(\alpha\). Также, пусть \(AB < CD\) (меньшее основание равно боковой стороне).

Условие "меньшее основание равно боковой стороне" можно записать математически следующим образом: \[ AB = BC. \]

Также, у нас есть острый угол \(\alpha\), и мы знаем, что трапеция равнобокая, поэтому углы \(A\) и \(D\) также острые, и \(A = D = \frac{\pi - \alpha}{2}\).

Теперь, чтобы найти большее основание (\(CD\)), мы можем воспользоваться теоремой косинусов для треугольника \(ABC\): \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(\angle A), \] где \(AC\) — диагональ трапеции.

Так как \(AB = BC\) и \(A = \frac{\pi - \alpha}{2}\), формула упрощается до: \[ BC^2 = 2 \cdot AB^2 - 2 \cdot AB^2 \cdot \cos\left(\frac{\pi - \alpha}{2}\right). \]

Учитывая, что \(\cos\left(\frac{\pi - \alpha}{2}\right) = \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\), мы можем записать: \[ BC^2 = 2 \cdot AB^2 - 2 \cdot AB^2 \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right). \]

Теперь мы можем выразить \(AC\) через \(AB\): \[ AC = \sqrt{2 \cdot AB^2 - 2 \cdot AB^2 \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}. \]

И, наконец, выразим \(CD\) (большее основание): \[ CD = 2 \cdot AC = 2 \cdot \sqrt{2 \cdot AB^2 - 2 \cdot AB^2 \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}. \]

Теперь давайте найдем площадь трапеции. Площадь трапеции можно найти по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \cdot (AB + CD) \cdot h, \] где \(h\) — высота трапеции.

Так как \(AB = BC\) и \(CD = 2 \cdot AC\), мы можем записать: \[ S = \frac{1}{2} \cdot (AB + 2 \cdot AC) \cdot h. \]

Теперь подставим выражение для \(AC\): \[ S = \frac{1}{2} \cdot \left(AB + 2 \cdot \sqrt{2 \cdot AB^2 - 2 \cdot AB^2 \cdot \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\right) \cdot h. \]

Таким образом, мы получили выражения для большего основания (\(CD\)) и площади трапеции (\(S\)) в зависимости от меньшего основания (\(AB\)) и угла \(\alpha\).