Question

Из некоторой точки к данной плоскости, проведены перпендикуляр и наклонная. Найти длину наклонной и её проекции на данную плоскость, если длина перпендикуляра равна 4 см, а угол между перпендикуляром и наклонной равен 30(градусов)

Answer 1

Если все нарисовать, получим прямоугольный треугольник, где наклонная (АС)- гипотенуза, перпендикуляр (АВ) - катет1, проекция (ВС) - катет2
АС=АВ/sin(BAC)=4*2/√3≈4.62
BC=АВ*tg(BAC)=4/√3≈2.31

Answer 2

Давайте обозначим данную плоскость как \( \alpha \), перпендикуляр как \( AB \), а наклонную как \( AC \), где \( A \) - точка на плоскости, \( B \) - вершина перпендикуляра, а \( C \) - вершина наклонной.

1. Найдем длину наклонной \( AC \):

Используем тригонометрическую функцию косинуса: \[ \cos(30^\circ) = \frac{AB}{AC} \]

Зная, что \( AB = 4 \) см и подставив значение угла: \[ \cos(30^\circ) = \frac{4}{AC} \]

Решим уравнение относительно \( AC \): \[ AC = \frac{4}{\cos(30^\circ)} \]

2. Найдем проекцию наклонной на плоскость \( \alpha \):

Проекция наклонной на плоскость \( \alpha \) будет равна проекции вектора \( AC \) на эту плоскость. Обозначим проекцию как \( AD \), где \( D \) - проекция точки \( C \) на плоскость \( \alpha \).

Так как \( AD \) перпендикулярна плоскости \( \alpha \), то угол между \( AC \) и \( AD \) также равен \( 30^\circ \). Таким образом, треугольник \( ACD \) является прямоугольным с углом \( 30^\circ \).

Используем тригонометрическую функцию синуса: \[ \sin(30^\circ) = \frac{AD}{AC} \]

Подставим значение угла и найденную длину \( AC \): \[ \sin(30^\circ) = \frac{AD}{\frac{4}{\cos(30^\circ)}} \]

Решим уравнение относительно \( AD \): \[ AD = \sin(30^\circ) \cdot \frac{4}{\cos(30^\circ)} \]

Таким образом, вы можете вычислить значения \( AC \) и \( AD \), используя тригонометрические функции.