Question

В треугольнике АВС на его медиане ВМ отмечена точка К так что ВК:КМ=8:5. Прямая АК пересекает ВС в точке Р. Найдите отношение площади треугольника ВКР к площади треугольника АКМ

Answer 1

Фото:::::::::::::::::::::::::::::::::::::::::

Answer 2

Давайте обозначим точку пересечения медианы ВМ и прямой АК за К. По условию, известно, что ВК:КМ = 8:5.

Также, известно, что медиана разбивает треугольник на два подтреугольника с отношением площадей, равным квадрату отношения длин медианы:

\[ \frac{S_{BVK}}{S_{VCM}} = \left( \frac{BK}{KM} \right)^2 \]

Поскольку ВК:КМ = 8:5, то \( \frac{BK}{KM} = \frac{8}{5} \). Таким образом, мы имеем:

\[ \frac{S_{BVK}}{S_{VCM}} = \left( \frac{8}{5} \right)^2 = \frac{64}{25} \]

Теперь рассмотрим треугольник АКМ. Площадь треугольника можно выразить как половину произведения длин двух сторон на синус угла между ними:

\[ S_{AKM} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot KM \cdot \sin(\angle AKM) \]

Так как медиана делит треугольник на две равные части, то \( S_{BVK} = S_{VKM} \), и мы можем выразить площадь треугольника VKM с использованием отношения 8:5:

\[ S_{VKM} = \frac{5}{8} \cdot S_{BVK} \]

Теперь мы можем выразить площадь треугольника АКМ:

\[ S_{AKM} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot KM \cdot \sin(\angle AKM) \]

Теперь мы можем рассмотреть отношение площадей треугольников ВКР и АКМ:

\[ \frac{S_{BVKR}}{S_{AKM}} = \frac{S_{BVK} + S_{VKR}}{S_{AKM}} \]

Подставим значения, которые мы выразили ранее:

\[ \frac{S_{BVKR}}{S_{AKM}} = \frac{\frac{5}{8} \cdot S_{BVK} + S_{VKR}}{\frac{1}{2} \cdot AK \cdot KM \cdot \sin(\angle AKM)} \]

Теперь мы можем подставить значение \( \frac{S_{BVK}}{S_{VCM}} = \frac{64}{25} \), а также учесть, что \( S_{BVK} = S_{VKM} \) из-за медианы:

\[ \frac{S_{BVKR}}{S_{AKM}} = \frac{\frac{5}{8} \cdot \frac{64}{25} \cdot S_{VCM} + S_{VKR}}{\frac{1}{2} \cdot AK \cdot KM \cdot \sin(\angle AKM)} \]

Таким образом, мы выразили отношение площадей треугольников ВКР и АКМ в терминах известных отношений сторон и площадей.