Question

Даны вершины треугольника (ABC):A(-3,8)B(-6,2),C(0,-5) а)Найти стороны AB б)Уровнение высоты CH в)Уровнение медианы AM г)Точку пересечения медианы AM и высоты CH д)Уравнение прямой,проходящей через вершину С параллельно стороне AB е)Расстояние от точки С до прямой AB

Answer 1

Даны вершины треугольника (ABC):A(-3,8)B(-6,2),C(0,-5)
а)Найти стороны AB, ВС и АС.
Решение:
Модуль или длина вектора: |ab|=√((Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²).
В нашем случае
|АВ|=√((-6-(-3))²+(2-8)²)=√((-3)²+(-6)²)=√45=3√5.
|АC|=√((0-(-3))²+(-5-8)²)=√(3²+(-13)²)=√178.
|BC|=√((0-(-6))²+(-5-2)²)=√(6²+(-7)²)=√85.

б)Уравнение высоты CH
Уравнение прямой, проходящей через точки А и В:
(X-Xa)/(Xb-Xa)=(Y-Ya)/(Yb-Ya) =>
(X+3)/(-3)=(Y-8)/(-6), отсюда
2X-Y+14=0 (1) - Общее уравнение прямой Аx+Вy+С=0, где в нашем случае
А=2, В=-1 и С=14.
Из уравнения прямой АВ (1) «снимаем» вектор нормали: n(2;-1), который и будет

направляющим вектором прямой CH.
Уравнение прямой СH составим по точке С(0;-5)  и направляющему вектору n(2;-1):
(x-0)/2=(y-(-5))/-1 или x+2y+10=0.

в)Уровнение медианы AM
Координаты середины М стороны ВС:
М(Xb+Xc)/2;(Yb+Yc)/2) или М(-3;-1,5)
Уравнение прямой, проходящей через точки А и М:
(X-Xa)/(Xm-Xa)=(Y-Ya)/(Ym-Ya) =>
(X+3)/0=(Y-8)/(-9,5), отсюда
X+3=0

г)Точку пересечения медианы AM и высоты CH
Точку пересечения двух прямых найдем, решив систему двух уравнений:
x+2y+10=0  и X+3=0  методом подстановки Х=-3.
-3+2y+10=0 или y=-3,5.
Координаты точки пересечения Р(-3;-3,5)

д)Уравнение прямой,проходящей через вершину С параллельно стороне AB
Уравнение прямой, проходящей через точки А и В:
2X-Y+14=0 (1) - найдено выше. Его можно представить в виде:
y=2x+14.
Прямая, проходящая через точку С(Хс;Yc) и параллельная прямой y=ax+b,

представляется уравнением y-Yc=a*(x-Xc).
В нашем случае а=2.
Искомое уравнение: y+5=2x-0 или y=2x-5.

е)Расстояние от точки С до прямой AB.
Это высота из точки СН, найденная в п.б.

Answer 2

Дано: Вершины треугольника ABC: A(-3,8), B(-6,2), C(0,-5)

а) Нахождение сторон AB: Для нахождения длины стороны AB используем формулу расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:

AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)

Где (x1, y1) и (x2, y2) - координаты точек A и B соответственно.

Вычислим:

AB = √((-6 - (-3))^2 + (2 - 8)^2) = √((-6 + 3)^2 + (-6)^2) = √((-3)^2 + 36) = √(9 + 36) = √45 ≈ 6.71

Таким образом, сторона AB треугольника ABC равна примерно 6.71.

б) Нахождение уравнения высоты CH: Высота треугольника - это отрезок, проведенный из вершины треугольника и перпендикулярный противоположной стороне. Чтобы найти уравнение высоты CH, нам нужно найти уравнение прямой, проходящей через вершину C и перпендикулярной стороне AB.

1. Найдем угловой коэффициент прямой AB: m_AB = (y2 - y1) / (x2 - x1) = (2 - 8) / (-6 - (-3)) = (-6) / (-3) = 2

2. Уравнение прямой AB: Используем точку A(-3,8) и угловой коэффициент m_AB = 2: y - y1 = m_AB * (x - x1) y - 8 = 2 * (x - (-3)) y - 8 = 2 * (x + 3) y - 8 = 2x + 6 y = 2x + 14

3. Уравнение прямой, перпендикулярной AB: Так как угловой коэффициент прямой, перпендикулярной другой прямой, является отрицательной обратной величиной углового коэффициента первой прямой, получим: m_CH = -1 / m_AB = -1 / 2 = -0.5

4. Найдем уравнение прямой CH, проходящей через вершину C: Используем точку C(0,-5) и угловой коэффициент m_CH = -0.5: y - y1 = m_CH * (x - x1) y - (-5) = -0.5 * (x - 0) y + 5 = -0.5x y = -0.5x - 5

Таким образом, уравнение высоты CH треугольника ABC: y = -0.5x - 5.

в) Нахождение уравнения медианы AM: Медиана треугольника - это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Чтобы найти уравнение медианы AM, нам нужно найти середину стороны BC и уравнение прямой, проходящей через вершину A и эту середину.

1. Найдем координаты середины стороны BC: x_mid_BC = (x_B + x_C) / 2 = (-6 + 0) / 2 = -3

y_mid_BC = (y_B + y_C) / 2 = (2 + (-5)) / 2 = -1.5

Середина стороны BC имеет координаты (-3, -1.5).

2. Уравнение прямой AM: Используем точку A(-3,8) и координаты середины стороны BC (-3, -1.5): y - y1 = (y_mid_BC - y1) / (x_mid_BC - x1) * (x - x1) y - 8 = (-1.5 - 8) / (-3 - (-3)) * (x - (-3)) y - 8 = (-9.5) / (0) * (x + 3) Уравнение медианы AM треугольника ABC является вертикальной прямой x = -3.

г) Нахождение точки пересечения медианы AM и высоты CH: Для нахождения точки пересечения медианы AM и высоты CH нам нужно решить систему уравнений медианы AM (x = -3) и высоты CH (y = -0.5x - 5).

Подставим уравнение медианы AM в уравнение высоты CH:

-0.5x - 5 = -3

Решим это уравнение:

-0.5x = -3 + 5 -0.5x = 2 x = 2 / -0.5 x = -4

Теперь подставим найденное значение x в любое из уравнений, например в уравнение медианы AM:

y = -0.5 * (-4) - 5 y = 2 - 5 y = -3

Таким образом, точка пересечения медианы AM и высоты CH треугольника ABC имеет координаты (-4, -3).

д) Уравнение прямой, проходящей через вершину С параллельно стороне AB: Уравнение прямой, параллельной другой прямой и проходящей через вершину треугольника, может быть найдено с использованием формулы сдвига:

y - y1 = m_AB * (x - x1)

где (x1, y1) - координаты вершины C, а m_AB - угловой коэффициент стороны AB.

Угловой коэффициент стороны AB мы уже нашли в пункте а) и он равен 2.

Подставим значения:

y - (-5) = 2 * (x - 0) y + 5 = 2x

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через вершину C параллельно стороне AB, y = 2x - 5.

е) Расстояние от точки С до прямой AB: Расстояние от точки до прямой можно вычислить с использованием формулы:

d = |Ax + By + C| / √(A^2 + B^2)

где прямая задана уравнением Ax + By + C = 0, а точка имеет координаты (x, y).

Уравнение прямой AB мы уже нашли в пункте б) и оно равно y = 2x + 14.

Приведем его к общему виду Ax + By + C = 0:

2x - y + 14 = 0

Теперь подставим значения:

A = 2, B = -1, C = 14, x = 0, y = -5

d = |2*0 - (-1)*(-5) + 14| / √(2^2 + (-1)^2)