Question

точка Р отстоит на (а) от каждой вершины квадрата АВСD со стороной (а). найдите угол, который образует с плоскостью квадрата прямая АР

Answer 1

Так как P равноудалена от всех вершин, ее проекция O на (ABC) совпадает с центром квадрата. Длина отрезка OA равна половине длины диагонали, и равна a*sqrt(2)/2. OA - проекция PA на (ABC), тогда угол PAO -  искомый. Его можно найти из прямоугольного треугольника PAO, в нем угол O прямой. Косинус угла равен отношению OA/PA=sqrt(2)/2, тогда угол равен 45 градусам.

Answer 2

Для решения этой задачи предположим, что квадрат ABCD лежит в плоскости OXY, а точка P имеет координаты (a, a, 0). Таким образом, координаты вершин квадрата следующие:

A(0, 0, 0) B(a, 0, 0) C(a, a, 0) D(0, a, 0)

Теперь рассмотрим прямую AP. Вектор направления прямой AP можно найти, вычесть координаты начальной точки A из координат конечной точки P:

\(\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{P} - \overrightarrow{A} = (a, a, 0) - (0, 0, 0) = (a, a, 0)\)

Теперь найдем вектор нормали к плоскости квадрата ABCD. Поскольку плоскость OXY, в которой лежит квадрат, параллельна плоскости XZ, то вектор нормали к плоскости ABCD будет направлен вдоль оси Z:

\(\overrightarrow{N} = (0, 0, 1)\)

Теперь найдем угол между вектором направления прямой AP и вектором нормали к плоскости ABCD, используя скалярное произведение:

\(\cos \theta = \frac{\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{N}}{\|\overrightarrow{AP}\| \cdot \|\overrightarrow{N}\|}\)

Где \(\|\overrightarrow{AP}\|\) - длина вектора \(\overrightarrow{AP}\), а \(\|\overrightarrow{N}\|\) - длина вектора \(\overrightarrow{N}\).

Длина вектора \(\overrightarrow{AP}\):

\(\|\overrightarrow{AP}\| = \sqrt{a^2 + a^2 + 0^2} = \sqrt{2a^2}\)

Длина вектора \(\overrightarrow{N}\):

\(\|\overrightarrow{N}\| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} = 1\)

Теперь можем подставить значения в формулу для \(\cos \theta\):

\(\cos \theta = \frac{(a, a, 0) \cdot (0, 0, 1)}{\sqrt{2a^2} \cdot 1}\)

\(\cos \theta = \frac{0 + 0 + 0}{\sqrt{2a^2}} = 0\)

Отсюда следует, что угол \(\theta\) равен 90 градусов, и прямая AP перпендикулярна к плоскости квадрата ABCD.