Question

AB и CD-перпендикуляры к прямой BD, точки A и C лежат по разные стороны от прямой BD. Докажите, что BC параллельно AD, если AB=CD.

Answer 1

АВ = CD по условию,
∠ABD = ∠CDB = 90° , так как АВ⊥BD и CD⊥BD,
BD - общая сторона для треугольников ABD и CDB, ⇒
ΔABD = ΔCDB по двум катетам.

Из равенства треугольников следует, что
∠1 = ∠2, а эти углы - накрест лежащие при пересечении прямых AD и ВС секущей BD, значит
AD ║ ВС.

Answer 2

Для доказательства, что \(BC\) параллельно \(AD\), когда \(AB = CD\), можно воспользоваться свойствами треугольников и параллельных линий. Давайте рассмотрим следующий порядок шагов:

1. Дано: \(AB\) и \(CD\) — перпендикуляры к прямой \(BD\), точки \(A\) и \(C\) лежат по разные стороны от прямой \(BD\), и \(AB = CD\). 2. Используем свойства перпендикуляров: Так как \(AB\) и \(CD\) — перпендикуляры к прямой \(BD\), то углы \(\angle ABD\) и \(\angle CBD\) прямые углы.

3. Рассмотрим треугольники \(ABD\) и \(CBD\):

В этих треугольниках у нас есть два прямых угла и общая сторона \(BD\). Это говорит о том, что треугольники \(ABD\) и \(CBD\) подобны.

4. Используем свойства подобных треугольников: Если два треугольника подобны, то соответствующие стороны пропорциональны.

Пусть \(k\) — коэффициент подобия. Тогда: \[ \frac{AB}{BD} = \frac{CD}{BD} \implies \frac{AB}{CD} = \frac{BD}{BD} \]

5. Учитываем условие \(AB = CD\): Теперь, если \(AB = CD\), то у нас получается: \[ \frac{AB}{CD} = \frac{BD}{BD} \implies 1 = 1 \]

6. Заключение: Таким образом, мы доказали, что при условии \(AB = CD\) и \(AB\) и \(CD\) — перпендикуляры к прямой \(BD\), треугольники \(ABD\) и \(CBD\) подобны с коэффициентом подобия \(k = 1\). Следовательно, стороны \(AD\) и \(BC\) пропорциональны с коэффициентом \(k = 1\), что означает, что \(BC\) параллельно \(AD\).

Таким образом, при данных условиях выполняется \(BC \parallel AD\).