Question

В равнобедренном треугольнике DEC с основанием CD медиана CM и DH пересекаются в точке A. Докажите, что треугольник DAC-также равнобедренный.

Answer 1

Мы берем это все строим
проводим и вершины Е высоту она будет являться и медианой и биссектрисой 
там есть точка пересечения этих медиан назову ее О
вот
Треугольники ЕОМ=ЕОН
по 2м сторонам и углу между ними 
далее рассматриваем треугольники МDО=COH
тоже по 2ум сторонам и углу
так как в этих треугольника углы МDo=HCOb являются частями равных углов Д и С
то получается что углы ODC=OCD
получается что треугольник ODC равнобедренный по признаку

Answer 2

Для начала, посмотрим на треугольник DEC. Так как треугольник DEC - равнобедренный, то DE = DC.

Также, по определению медианы, точка M делит сторону DE пополам, то есть DM = MC.

Теперь рассмотрим треугольник DHA. Так как точка M является серединой стороны DE, то отрезок HM является медианой треугольника DHE. Так как точка A - точка пересечения медиан DH и CM, то точка A также является точкой пересечения медиан треугольника DHE и треугольника DCM.

По свойству медиан треугольника, отрезок HM делит отрезок DE в отношении 2:1, то есть HM = 2MA.

Также, отрезок CM делит отрезок DE в отношении 1:1, то есть MC = MD.

Из этих двух равенств следует, что HM = 2MA = MD.

Теперь рассмотрим треугольник DAC. Так как HM = MD, то точка A лежит на биссектрисе угла D. Также, так как DE = DC, то угол D равен углу C.

Из этих двух фактов следует, что угол DAC равен углу DCA.

Таким образом, треугольник DAC является равнобедренным, так как у него равны две стороны и два угла.